Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que \mathrm{P}(\mathrm{i})=2 e \mathrm{P}(1+\mathrm{i})=0.
(e) 2 / 3\left(x^{2}-2 x+3\right)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, tal que
P(\mathrm{i})=2
e
P(1+\mathrm{i})=0.
Foi apresentada a alternativa (e) \displaystyle \frac{2}{3}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr). Vou verificar se ela ou outra atende às condições e achar o polinômio de menor grau possível. As informações relevantes são:
Valor requerido em \mathrm{i}: P(\mathrm{i})=2.
Raiz dada: 1+\mathrm{i} é raiz, ou seja P(1+\mathrm{i})=0.
Coeficientes de P são reais.
Queremos o grau mínimo que satisfaça tudo acima.
Passo 2
Propriedade útil (e explicação): se um polinômio tem coeficientes reais, então os valores em argumentos complexos respeitam conjugação, isto é, para todo z complexo vale
\overline{P(z)}=P(\overline{z}).
Prova curta: escrevendo P(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 com a_k\in\mathbb{R}, tem-se \overline{P(z)}=\overline{a_n z^n+\cdots+a_0}=a_n\overline{z}^n+\cdots+a_0=P(\overline{z}).
Consequências imediatas das condições do enunciado:
Como P(1+\mathrm{i})=0 e coeficientes são reais, segue P(1-\mathrm{i})=0. Ou seja, 1-\mathrm{i} também é raiz.
Como P(\mathrm{i})=2 (número real), aplica-se a propriedade e obtemos P(-\mathrm{i})=\overline{P(\mathrm{i})}=2. Logo \mathrm{i} e -\mathrm{i} são pontos com mesmo valor 2.
Passo 3
Dos zeros 1\pm\mathrm{i} obtemos um fator quadrático real mínimo que anula esses pontos:
Para que P(\mathrm{i})=2 (um número real) seria necessário que a(1-2\mathrm{i}) fosse real. Como a é real, o fator imaginário é a(-2); para essa parte imaginária ser zero seria preciso a=0, o que contradiz ter um polinômio não nulo. Portanto não existe polinômio real de grau 2 satisfazendo as condições. Conclusão: o grau mínimo é pelo menos 3.
Passo 5
Construção do menor grau possível: tente grau 3. Por minimalidade, escolha um polinômio que tenha exatamente as raízes 1\pm\mathrm{i} e mais uma raiz real \alpha (para manter coeficientes reais):
P(x)=k\bigl(x^2-2x+2\bigr)(x-\alpha),
com k,\alpha\in\mathbb{R} e k\neq0. Agora imponha P(\mathrm{i})=2. Primeiro calcule o valor do fator quadrático em \mathrm{i}:
Fatorando \tfrac{2}{5} para ter coeficientes inteiros no parêntese:
P(x)=\frac{2}{5}\bigl(2x^3-3x^2+2x+2\bigr).
Passo 8
Verificação e conclusão sobre a alternativa dada: a alternativa (e) apresentada é \displaystyle \frac{2}{3}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr), que é um polinômio de grau 2. Pelo argumento do