Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que \mathrm{P}(\mathrm{i})=2 e \mathrm{P}(1+\mathrm{i})=0.
(e) 2 / 3\left(x^{2}-2 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, tal que
P(\mathrm{i})=2
e
P(1+\mathrm{i})=0.
Foi apresentada a alternativa (e) \displaystyle \frac{2}{3}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr). Vou verificar se ela ou outra atende às condições e achar o polinômio de menor grau possível. As informações relevantes são:
  • Valor requerido em \mathrm{i}: P(\mathrm{i})=2.
  • Raiz dada: 1+\mathrm{i} é raiz, ou seja P(1+\mathrm{i})=0.
  • Coeficientes de P são reais.
  • Queremos o grau mínimo que satisfaça tudo acima.

Passo 2

Propriedade útil (e explicação): se um polinômio tem coeficientes reais, então os valores em argumentos complexos respeitam conjugação, isto é, para todo z complexo vale
\overline{P(z)}=P(\overline{z}).
Prova curta: escrevendo P(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 com a_k\in\mathbb{R}, tem-se \overline{P(z)}=\overline{a_n z^n+\cdots+a_0}=a_n\overline{z}^n+\cdots+a_0=P(\overline{z}).
Consequências imediatas das condições do enunciado:
  • Como P(1+\mathrm{i})=0 e coeficientes são reais, segue P(1-\mathrm{i})=0. Ou seja, 1-\mathrm{i} também é raiz.
  • Como P(\mathrm{i})=2 (número real), aplica-se a propriedade e obtemos P(-\mathrm{i})=\overline{P(\mathrm{i})}=2. Logo \mathrm{i} e -\mathrm{i} são pontos com mesmo valor 2.

Passo 3

Dos zeros 1\pm\mathrm{i} obtemos um fator quadrático real mínimo que anula esses pontos:
(x-(1+\mathrm{i}))(x-(1-\mathrm{i}))=(x-1-\mathrm{i})(x-1+\mathrm{i})=(x-1)^2+1.
Calculando,
(x-1)^2+1 = x^2-2x+1+1 = x^2-2x+2.
Portanto qualquer polinômio real com raízes 1\pm\mathrm{i} tem o fator x^2-2x+2.

Passo 4

Testando grau 2 (menor possível): suponha
P(x)=a\bigl(x^2-2x+2\bigr)
com a\in\mathbb{R} não nulo. Avaliando em x=\mathrm{i}:
P(\mathrm{i})=a\bigl(\mathrm{i}^2-2\mathrm{i}+2\bigr)=a\bigl(-1-2\mathrm{i}+2\bigr)=a(1-2\mathrm{i}).
Para que P(\mathrm{i})=2 (um número real) seria necessário que a(1-2\mathrm{i}) fosse real. Como a é real, o fator imaginário é a(-2); para essa parte imaginária ser zero seria preciso a=0, o que contradiz ter um polinômio não nulo. Portanto não existe polinômio real de grau 2 satisfazendo as condições. Conclusão: o grau mínimo é pelo menos 3.

Passo 5

Construção do menor grau possível: tente grau 3. Por minimalidade, escolha um polinômio que tenha exatamente as raízes 1\pm\mathrm{i} e mais uma raiz real \alpha (para manter coeficientes reais):
P(x)=k\bigl(x^2-2x+2\bigr)(x-\alpha),
com k,\alpha\in\mathbb{R} e k\neq0. Agora imponha P(\mathrm{i})=2. Primeiro calcule o valor do fator quadrático em \mathrm{i}:
\mathrm{i}^2-2\mathrm{i}+2= -1-2\mathrm{i}+2 = 1-2\mathrm{i}.
E o fator linear em \mathrm{i} é \mathrm{i}-\alpha. Assim
P(\mathrm{i})=k(1-2\mathrm{i})(\mathrm{i}-\alpha).
Multiplique os dois complexos para separar parte real e imaginária. Calculando
(1-2\mathrm{i})(\mathrm{i}-\alpha) = (1)(\mathrm{i}-\alpha) + (-2\mathrm{i})(\mathrm{i}-\alpha).
Fazendo as contas:
(1-2\mathrm{i})(\mathrm{i}-\alpha)= -\alpha + \mathrm{i} + 2\alpha\mathrm{i} -2\mathrm{i}^2 = (-\alpha+2) + \mathrm{i}(1+2\alpha).
Logo
P(\mathrm{i})=k\bigl((- \alpha+2) + \mathrm{i}(1+2\alpha)\bigr).

Passo 6

Impor P(\mathrm{i})=2 (número real) exige que a parte imaginária seja zero:
k(1+2\alpha)=0.
Como k\neq0, segue
1+2\alpha=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\tfrac{1}{2}.
Agora a parte real vale (- \alpha+2)= -(-\tfrac{1}{2})+2=\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{5}{2}. Assim
P(\mathrm{i})=k\cdot \tfrac{5}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{2}{5}\cdot 2=\frac{4}{5}.

Passo 7

Logo o polinômio procurado é
P(x)=\frac{4}{5}\bigl(x^2-2x+2\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr).
Multiplicando para obter forma com coeficientes racionais:
\bigl(x^2-2x+2\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)=x^3-\tfrac{3}{2}x^2+x+1,
portanto
P(x)=\frac{4}{5}\Bigl(x^3-\tfrac{3}{2}x^2+x+1\Bigr)=\frac{4}{5}x^3-\frac{6}{5}x^2+\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}.
Fatorando \tfrac{2}{5} para ter coeficientes inteiros no parêntese:
P(x)=\frac{2}{5}\bigl(2x^3-3x^2+2x+2\bigr).

Passo 8

Verificação e conclusão sobre a alternativa dada: a alternativa (e) apresentada é \displaystyle \frac{2}{3}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr), que é um polinômio de grau 2. Pelo argumento do

Resposta

\displaystyle P(x)=\frac{2}{5}\bigl(2x^{3}-3x^{2}+2x+2\bigr)

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