Os números reais positivos a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q. Nesse caso, é correto afirmar que a sequência \log a_{1}, \log a_{2}, \ldots, \log a_{n} forma
(e) uma progressão aritmética crescente, desde que q>0.

Passo 1

O enunciado nos dá que os números reais positivos a_{1},a_{2},\dots,a_{n} formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q. A afirmação a ser julgada é: "a sequência \log a_{1},\log a_{2},\dots,\log a_{n} forma uma progressão aritmética crescente, desde que q>0".
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos a_k são todos positivos: a_k>0 para todo k.
  • \{a_k\} é uma progressão geométrica (PG) de razão q.
  • A afirmativa a verificar diz respeito à forma (PA) e à monotonicidade (crescente) da sequência \{\log a_k\}, sob a hipótese q>0.

Passo 2

Lembrando a definição de progressão geométrica: uma sequência \{a_k\} é PG de razão q quando cada termo é obtido multiplicando o anterior por q. Assim, o termo geral é
a_k = a_1\,q^{\,k-1}\qquad\text{para }k=1,2,\dots,n.
Essa fórmula vem diretamente da repetida multiplicação por q: a_2=a_1q, a_3=a_1q^2, etc.

Passo 3

Vamos aplicar a função logaritmo aos termos. Usamos duas propriedades fundamentais dos logaritmos:
  • \log(xy)=\log x+\log y;
  • \log(x^r)=r\log x.
Aplicando isso a a_k = a_1 q^{\,k-1} obtemos
\log a_k = \log\bigl(a_1 q^{\,k-1}\bigr) = \log a_1 + \log\bigl(q^{\,k-1}\bigr) = \log a_1 + (k-1)\log q.

Passo 4

A expressão encontrada tem a forma clássica do termo geral de uma progressão aritmética (PA): um termo inicial mais um múltiplo do índice. Especificamente,
\log a_k = \underbrace{\log a_1}_{\text{termo inicial}} + (k-1)\underbrace{\log q}_{\text{razão}}.ã
Portanto, \{\log a_k\} é sempre uma progressão aritmética, com razão d=\log q.
Um exemplo numérico para fixar: se a_1=2 e q=3, então a_2=6,a_3=18 e \log a_k é \log 2,\log 6,\log 18. As diferenças entre termos consecutivos são todas \log 3.

Passo 5

Agora a monotonicidade. Uma PA é crescente se e somente se sua razão for positiva, isto é, se d>0. Aqui d=\log q. Assim:
  • Se \log q>0 então a PA \{\log a_k\} é crescente. Isso equivale a q>1.
  • Se \log q<0 então a PA é decrescente. Isso equivale a 0<q<1.
  • Se \log q=0 então a PA é constante. Isso equivale a q=1.
Observação sobre o sinal de q: como todos os a_k são positivos, não é possível ter q<0 (se q<0 os termos alternariam sinal e não seriam todos positivos). Logo, de fato q>0 é uma consequência da positividade dos a_k, mas isso não garante crescimento — só garante que q esteja em (0,\infty).

Passo 6

Comparando com a afirmação do enunciado: ela diz que \{\log a_k\} é "uma progressão aritmética crescente, desde que q>0". Nós concluímos:
  • A parte “forma uma progressão aritmética” é correta.
  • A parte "crescente, desde que q>0" é incorreta: a condição correta para ser crescente é q>1, não apenas q>0. Para 0<q<1 a PA é decrescente; para q=1 é constante.
Portanto a afirmação dada é falsa.

Resposta

Falso.

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