Questão 2: (2.5 pontos)
Determine a solução geral da equação diferencial
Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação é dada para
. - Deve-se encontrar a família de soluções
que satisfaz a equação em todo o intervalo . - Não foi dado valor inicial; portanto procuramos a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Identificar a forma da equação e escolher o método. A equação está na forma
onde
e
. Para equações lineares de primeira ordem nesta forma o método padrão e eficiente é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar a ideia principal:
- A função
é o coeficiente multiplicando . - O fator integrante
é definido por
- Multiplicando a equação original por
transforma o lado esquerdo em uma derivada total do produto , permitindo integrar facilmente.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como
,
onde aqui
é o logaritmo natural. Como o enunciado fixa
, tem-se
Observação: a hipótese
permite simplificar
em
sem necessidade de valores absolutos.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Assim a equação pode ser escrita como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos uma derivada no lado esquerdo e uma função polinomial no direito:
Isso dá
onde
é a constante de integração (uma constante real arbitrária).
Passo 6
Isolar
dividindo por
(válido porque
):
Aqui
é uma constante arbitrária real. Podemos também escrever a solução geral como a soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea:
- solução particular:
; - solução homogênea:
.
Passo 7
Comentário prático (se precisar na prova): se viesse um valor inicial, por exemplo
com
, basta substituir
em
e resolver para
: