Questão 2: (2.5 pontos)
Determine a solução geral da equação diferencial
y^{\prime}(t)+\frac{2}{t} y(t)=2 t^{2}, \quad t>0 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime}(t)+\frac{2}{t}y(t)=2t^{2},\qquad t>0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação é dada para t>0.
  • Deve-se encontrar a família de soluções y(t) que satisfaz a equação em todo o intervalo t>0.
  • Não foi dado valor inicial; portanto procuramos a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Identificar a forma da equação e escolher o método. A equação está na forma
y'(t)+p(t)y(t)=q(t),
onde p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=2t^{2}. Para equações lineares de primeira ordem nesta forma o método padrão e eficiente é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar a ideia principal:
  • A função p(t) é o coeficiente multiplicando y(t).
  • O fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • Multiplicando a equação original por \mu(t) transforma o lado esquerdo em uma derivada total do produto \mu(t)y(t), permitindo integrar facilmente.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como p(t)=\dfrac{2}{t},
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln t=\ln t^{2},
onde aqui \ln é o logaritmo natural. Como o enunciado fixa t>0, tem-se
\mu(t)=\exp(\ln t^{2})=t^{2}.
Observação: a hipótese t>0 permite simplificar e^{\ln t^{2}} em t^{2} sem necessidade de valores absolutos.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=t^{2}. Fazendo isso obtemos
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=2t^{4}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^{2}y(t), pois
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t^{2}y'(t)+2t\,y(t).
Assim a equação pode ser escrita como
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=2t^{4}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. Integramos uma derivada no lado esquerdo e uma função polinomial no direito:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)\,dt=\int 2t^{4}\,dt.
Isso dá
t^{2}y(t)=2\cdot\frac{t^{5}}{5}+C=\frac{2}{5}t^{5}+C,
onde C é a constante de integração (uma constante real arbitrária).

Passo 6

Isolar y(t) dividindo por t^{2} (válido porque t>0):
y(t)=\frac{\tfrac{2}{5}t^{5}+C}{t^{2}}=\frac{2}{5}t^{3}+C\,t^{-2}.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Podemos também escrever a solução geral como a soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea:
  • solução particular: \dfrac{2}{5}t^{3};
  • solução homogênea: C t^{-2}.

Passo 7

Comentário prático (se precisar na prova): se viesse um valor inicial, por exemplo y(t_{0})=y_{0} com t_{0}>0, basta substituir t=t_{0} em
y(t_{0})=\frac{2}{5}t_{0}^{3}+C t_{0}^{-2}=y_{0}
e resolver para C:
C=t_{0}^{2}\big(y_{0}-\tfrac{2}{5}t_{0}^{3}\big).

Resposta

y(t)=\dfrac{2}{5}t^{3}+C\,t^{-2},\quad C\in\mathbb{R},\\ t>0.

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