Mostre que o problema
tem uma única solução
e ache uma fórmula para
, supondo que
e
são conhecidas.
Passo 1
O enunciado dá o problema
com as hipóteses de regularidade:
e
.
O que se pede:
O que se pede:
- Mostrar que existe uma única solução
. - Achar uma fórmula explícita para essa solução
.
As informações relevantes são então: a equação que dá a derivada parcial de
em relação a
, a condição de contorno que fixa
ao longo da curva
, e as hipóteses de classe
para as funções dadas.
Passo 2
Primeira ideia (passo a passo): para cada
fixo a equação
é uma equação diferencial em
. Integrando em
para
variável e tratando
como parâmetro, pela regra fundamental do cálculo (teorema fundamental do cálculo) obtemos a forma geral da solução em termos de uma constante de integração que pode depender de
.
Explicando o que uso aqui: o teorema fundamental do cálculo diz que se
é contínua em
então a função
é diferenciável e
. Aplicado com
(fixo
), resulta que integrando
em
obtemos uma primitiva mais uma função arbitrária de
.
Passo 3
Integrando
em
(para cada
fixo) a solução geral tem a forma
onde
é qualquer ponto fixo (pode escolher
ou qualquer outro) e
é uma função arbitrária de
(constante de integração que pode depender de
). Esta representação vem diretamente da integração termo a termo, usando que
é contínua.
Agora impondo a condição de contorno
obtemos, substituindo
,
Isolando
dá
Substituindo
na expressão geral para
e usando a propriedade de integrais (
) obtemos a fórmula explícita
Passo 4
Verificação direta de que essa
resolve o problema:
- Derivando em
usando o teorema fundamental do cálculo:
Portanto satisfaz a PDE
.
- Avaliando na curva
:
então a condição de contorno é satisfeita.
Passo 5
Unicidade: suponha que existam duas soluções
e
em
que satisfaçam o problema. Considere
. Então
logo, para cada
fixo,
é constante em
. Assim existe uma função
tal que
para todo
. Aplicando a condição de contorno,
Logo
para todo
, isto é
e
. Portanto a solução é única.
Passo 6
Regularidade: mostrar
.
-
Já temos
. Como , em particular é contínua, então é contínua. -
Calculamos
pela regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral com limite dependente de . A regra diz, para ,
quando as funções são suficientemente regulares. Aplicando isso com
,
(note que
é tratado como constante ao derivar em
) e
, temos
Portanto
Como
e
são contínuos (pois
), cada termo da expressão acima é contínuo em
. Logo
é contínua, e assim
.
Passo 7
Conclusão final: a função
é bem definida, pertence a
, satisfaz a equação
e a condição
, e é a única função com essas propriedades.