Mostre que o problema
\begin{aligned} & u_{x}=h(x, y), \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \\\ & u(p(y), y)=f(y), \quad y \in \mathbb{R}, \end{aligned}
tem uma única solução u \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right) e ache uma fórmula para u, supondo que h \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right) e p, f \in C^{1}(\mathbb{R}) são conhecidas.

Passo 1

O enunciado dá o problema
\begin{aligned} & u_{x}=h(x,y),\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2,\\\ & u(p(y),y)=f(y),\quad y\in\mathbb{R}, \end{aligned}
com as hipóteses de regularidade: h\in C^{1}(\mathbb{R}^2) e p,f\in C^{1}(\mathbb{R}).
O que se pede:
  • Mostrar que existe uma única solução u\in C^{1}(\mathbb{R}^2).
  • Achar uma fórmula explícita para essa solução u.
As informações relevantes são então: a equação que dá a derivada parcial de u em relação a x, a condição de contorno que fixa u ao longo da curva x=p(y), e as hipóteses de classe C^1 para as funções dadas.

Passo 2

Primeira ideia (passo a passo): para cada y fixo a equação \,u_x(x,y)=h(x,y)\, é uma equação diferencial em x. Integrando em x para x variável e tratando y como parâmetro, pela regra fundamental do cálculo (teorema fundamental do cálculo) obtemos a forma geral da solução em termos de uma constante de integração que pode depender de y.
Explicando o que uso aqui: o teorema fundamental do cálculo diz que se g(s) é contínua em s então a função G(x)=\int_{a}^{x} g(s)\,ds é diferenciável e G'(x)=g(x). Aplicado com g(s)=h(s,y) (fixo y), resulta que integrando u_x=h em x obtemos uma primitiva mais uma função arbitrária de y.

Passo 3

Integrando \,u_x(x,y)=h(x,y)\, em x (para cada y fixo) a solução geral tem a forma
u(x,y)=\int_{x_0}^{x} h(s,y)\,ds + C(y),
onde x_0 é qualquer ponto fixo (pode escolher x_0=0 ou qualquer outro) e C(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração que pode depender de y). Esta representação vem diretamente da integração termo a termo, usando que h(\cdot,y) é contínua.
Agora impondo a condição de contorno u(p(y),y)=f(y) obtemos, substituindo x=p(y),
f(y)=\int_{x_0}^{p(y)} h(s,y)\,ds + C(y).
Isolando C(y)
C(y)=f(y)-\int_{x_0}^{p(y)} h(s,y)\,ds.
Substituindo C(y) na expressão geral para u e usando a propriedade de integrais ( \int_{x_0}^{x} - \int_{x_0}^{p(y)} = \int_{p(y)}^{x}) obtemos a fórmula explícita
\boxed{\,u(x,y)=f(y)+\int_{p(y)}^{x} h(s,y)\,ds\,.}

Passo 4

Verificação direta de que essa u resolve o problema:
  • Derivando em x usando o teorema fundamental do cálculo:
u_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(f(y)+\int_{p(y)}^{x} h(s,y)\,ds\right)=h(x,y).
Portanto satisfaz a PDE u_x=h.
  • Avaliando na curva x=p(y):
u(p(y),y)=f(y)+\int_{p(y)}^{p(y)} h(s,y)\,ds=f(y)+0=f(y),
então a condição de contorno é satisfeita.

Passo 5

Unicidade: suponha que existam duas soluções u e v em C^1(\mathbb{R}^2) que satisfaçam o problema. Considere w=u-v. Então
w_x=u_x-v_x=h-h=0,
logo, para cada y fixo, w(x,y) é constante em x. Assim existe uma função c(y) tal que w(x,y)=c(y) para todo x. Aplicando a condição de contorno,
c(y)=w(p(y),y)=u(p(y),y)-v(p(y),y)=f(y)-f(y)=0.
Logo c(y)=0 para todo y, isto é w\equiv0 e u\equiv v. Portanto a solução é única.

Passo 6

Regularidade: mostrar u\in C^{1}(\mathbb{R}^2).
  • Já temos u_x(x,y)=h(x,y). Como h\in C^{1}(\mathbb{R}^2), em particular h é contínua, então u_x é contínua.
  • Calculamos u_y pela regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral com limite dependente de y. A regra diz, para I(y)=\int_{a(y)}^{b(y)} H(s,y)\,ds,
I'(y)=b'(y)H(b(y),y)-a'(y)H(a(y),y)+\int_{a(y)}^{b(y)} H_y(s,y)\,ds,
quando as funções são suficientemente regulares. Aplicando isso com a(y)=p(y), b(y)=x (note que x é tratado como constante ao derivar em y) e H(s,y)=h(s,y), temos
\frac{\partial}{\partial y}\int_{p(y)}^{x} h(s,y)\,ds = -p'(y)h(p(y),y) + \int_{p(y)}^{x} h_y(s,y)\,ds.
Portanto
u_y(x,y)=f'(y) - p'(y)h(p(y),y) + \int_{p(y)}^{x} h_y(s,y)\,ds.
Como f,p\in C^{1} e h,h_y são contínuos (pois h\in C^{1}), cada termo da expressão acima é contínuo em (x,y). Logo u_y é contínua, e assim u\in C^{1}(\mathbb{R}^2).

Passo 7

Conclusão final: a função
u(x,y)=f(y)+\int_{p(y)}^{x} h(s,y)\,ds
é bem definida, pertence a C^{1}(\mathbb{R}^2), satisfaz a equação u_x=h e a condição u(p(y),y)=f(y), e é a única função com essas propriedades.

Resposta

u(x,y)=f(y)+\displaystyle\int_{p(y)}^{x} h(s,y)\,ds

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