Determine \boldsymbol{y}(\boldsymbol{t}) utilizando a transformada de Laplace.
\dot{y}(t)+y(t)=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\dot{y}(t) + y(t) = 0,\quad y(0)=2
usando a transformada de Laplace. Vamos lembrar que, para uma função y(t) com transformada Y(s), temos \mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de \dot{y}(t) + y(t) = 0, obtemos
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}(s) + \mathcal{L}\{y(t)\}(s) = 0.

Passo 3

Substituindo as fórmulas de transformada:
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + Y(s) = 0.
Como y(0)=2, isso vira
sY(s) - 2 + Y(s) = 0.

Passo 4

Agrupando Y(s):
Y(s)\,(s+1) = 2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{2}{s+1}.

Passo 5

Reconhecendo na tabela de transformadas que \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}, concluímos que
Y(s) = 2\;\frac{1}{s+1} \;\Longrightarrow\; y(t) = 2\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=2e^{-t}.

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