Dada a função de transferência
G(s)=3 s+12 s^2+6 s+40
determine a função de transferência senoidal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de transferência que relaciona a entrada e a saída de um sistema. O enunciado nos pede para determinar a função de transferência senoidal, ou seja, como o sistema responde a uma entrada que é uma onda senoidal. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de transferência funcionam e como elas se aplicam a sinais senoidais usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de transferência $ G(s) $ descreve o comportamento do sistema no domínio da frequência. Quando queremos saber como o sistema reage a uma entrada senoidal, substituímos $ s $ por $ j\omega $, onde $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência da senoide.
Então, nossa função de transferência é:
G(s)
Vamos substituir $ s $ por $ j\omega $:
s

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
2(jomega)^2 = 2(-omega^2) = -2omega^2
Portanto,
G(jomega) = 3jomega + 1-2omega^2 + 6jomega + 40

Passo 4

Para encontrar a resposta senoidal, precisamos calcular a magnitude e a fase de $ G(j\omega) $. A magnitude é dada por:
G(jomega)
E a fase é:
|G(jomega)| = raiz(1)^2 + (3omega)^2raiz(-2omega^2 + 40)^2 + (6omega)^2

Passo 5

Com a magnitude e a fase calculadas, podemos expressar a função de transferência senoidal. Se a entrada é uma senoide $ A \sin(\omega t) $, a saída será:
A sin(omega t)

Resposta

A função de transferência senoidal é:
Y(t) = raiz1 + (3omega)^2raiz(40 - 2omega^2)^2 + (6omega)^2 cdot A sin(omega t + [ tan^-1(3omega) - tan^-1(6omega40 - 2omega^2) ])

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