Considere o sistema definido por onde y é o output e u é o input. Obtenha a representação em espaço de estados do sistema.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial de terceira ordem que descreve um sistema LTI (Linear, Tempo Invariável):
O que pedem é a representação em espaço de estados desse sistema.
Conteúdo: teoria de espaço de estados para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
Escolher variáveis de estado adequadas;
Escrever as equações de origem da dinâmica em forma matricial .
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis de estado. A ideia é converter a equação de ordem 3 em três equações de ordem 1. Uma escolha clássica (forma canônica controlável) é:
Por que isso? Porque qualquer sistema de ordem vira um vetor de dimensão no espaço de estados.
Passo 3
Agora, derivamos cada variável de estado:
Mas da equação original a gente sabe que
Substituindo :
Passo 4
Pronto, agora vamos juntar tudo em matriz. Definindo o vetor de estado , temos:
E a saída é só , ou seja:
Resposta
A representação em espaço de estados fica:
boxed dotx &= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6 x + 0 0 6 u, y &= 1 & 0 & 0 x