Considere o sistema definido por dddoty+6 doty+11 doty+6 y=6 u onde y é o output e u é o input. Obtenha a representação em espaço de estados do sistema.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial de terceira ordem que descreve um sistema LTI (Linear, Tempo Invariável):
dddoty + 6,ddoty + 11,doty + 6,y = 6,u
O que pedem é a representação em espaço de estados desse sistema.
Conteúdo: teoria de espaço de estados para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
  • Escolher variáveis de estado adequadas;
  • Escrever as equações de origem da dinâmica em forma matricial .

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis de estado. A ideia é converter a equação de ordem 3 em três equações de ordem 1. Uma escolha clássica (forma canônica controlável) é:
x1 = y, x2 = doty, x3 = ddoty
Por que isso? Porque qualquer sistema de ordem vira um vetor de dimensão no espaço de estados.

Passo 3

Agora, derivamos cada variável de estado:
  1. dddoty = -6,ddoty - 11,doty - 6,y + 6,u
  2. dotx3 = -6,x3 - 11,x2 - 6,x1 + 6,u
Mas da equação original a gente sabe que
Substituindo :

Passo 4

Pronto, agora vamos juntar tudo em matriz. Definindo o vetor de estado dotx = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6 x + 0 0 6 u , temos:
y = 1 & 0 & 0 x + [0],u
E a saída é só , ou seja:

Resposta

A representação em espaço de estados fica:
boxed dotx &= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6 x + 0 0 6 u, y &= 1 & 0 & 0 x

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