Dada a equação E/S
4 ddoty+doty+30 y=0,8 dotu+2 u
calcule a resposta em regime permanente em frequência yr p(t) para a entrada u(t)=0,3 cos 5 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona $ y(t) $ e $ u(t) $. O lance aqui é encontrar a resposta em regime permanente, ou seja, como $ y(t) $ se comporta quando o tempo passa e as condições iniciais já não importam mais. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e resposta a entradas senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
4 ddoty + doty + 30 y = 0,8 dotu + 2 u
Aqui, $ \ddot{y} $ é a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo, $ \dot{y} $ é a primeira derivada, e $ u(t) $ é a entrada do sistema.

Passo 3

Como queremos a resposta em regime permanente para uma entrada senoidal $ u(t) = 0,3 \cos(5 t) $, vamos assumir que a solução particular $ y_{rp}(t) $ também será uma função cosseno com a mesma frequência, ou seja:
u(t) = 0,3 cos(5 t)
Mas para simplificar, podemos usar a forma de fasor e trabalhar com números complexos.

Passo 4

Vamos substituir $ u(t) = 0,3 \cos(5 t) $ na equação. Primeiro, calculamos as derivadas de $ u(t) $:
u(t) = 0,3 cos(5 t)
u(t)
Mas como estamos trabalhando com a forma de fasor, podemos representar $ u(t) $ como $ U = 0,3 \angle 0^\circ $.

Passo 5

A equação em termos de fasores fica:
4 (j5)^2 Y + j5 Y + 30 Y = 0,8 (j5) U + 2 U
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária ($ j^2 = -1 $).

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
4 (j5)^2 Y = 4 (-25) Y = -100 Y
j5 Y = j5 Y
30 Y = 30 Y
Do lado direito:
0,8 (j5) U = j4 U
2 U = 2 U
Então a equação fica:
-100 Y + j5 Y + 30 Y = j4 U + 2 U

Passo 7

Combinando os termos de $ Y $:
Y
Então:
(-100 + 30) Y + j5 Y = -70 Y + j5 Y
Fatorando $ Y $:
-70 Y + j5 Y = j4 U + 2 U

Passo 8

Resolvendo para $ Y $:
Y
Agora, vamos substituir $ U = 0,3 \angle 0^\circ $:

Passo 9

Primeiro, calcule o denominador em termos de módulo e fase:
-70 + j5 = raiz(-70)^2 + 5^2 = raiz4900 + 25 = raiz4925 approx 70,18
theta = tan^-1(5-70) approx 175,45^circ
Então:
-70 + j5 approx 70,18 ang<= 175,45^circ

Passo 10

Agora, o numerador:
2 + j4 = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,47
phi = tan^-1(42) = 63,43^circ
Então:
2 + j4 approx 4,47 ang<= 63,43^circ

Passo 11

Substituindo na expressão de $ Y $:
Y

Passo 12

Convertendo de volta para a forma temporal:
yrp(t) = |Y| cos(5t + theta) = 0,0191 cos(5t - 112,02^circ)

Resposta

A resposta em regime permanente é aproximadamente
yrp(t) = 0,0191 cos(5t - 112,02^circ)

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