Dada a equação E/S
calcule a resposta em regime permanente em frequência
para a entrada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que relaciona $ y(t) $ e $ u(t) $. O lance aqui é encontrar a resposta em regime permanente, ou seja, como $ y(t) $ se comporta quando o tempo passa e as condições iniciais já não importam mais. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e resposta a entradas senoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Aqui, $ \ddot{y} $ é a segunda derivada de $ y $ em relação ao tempo, $ \dot{y} $ é a primeira derivada, e $ u(t) $ é a entrada do sistema.
Passo 3
Como queremos a resposta em regime permanente para uma entrada senoidal $ u(t) = 0,3 \cos(5 t) $, vamos assumir que a solução particular $ y_{rp}(t) $ também será uma função cosseno com a mesma frequência, ou seja:
Mas para simplificar, podemos usar a forma de fasor e trabalhar com números complexos.
Passo 4
Vamos substituir $ u(t) = 0,3 \cos(5 t) $ na equação. Primeiro, calculamos as derivadas de $ u(t) $:
Mas como estamos trabalhando com a forma de fasor, podemos representar $ u(t) $ como $ U = 0,3 \angle 0^\circ $.
Passo 5
A equação em termos de fasores fica:
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária ($ j^2 = -1 $).
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Do lado direito:
Então a equação fica:
Passo 7
Combinando os termos de $ Y $:
Então:
Fatorando $ Y $:
Passo 8
Resolvendo para $ Y $:
Agora, vamos substituir $ U = 0,3 \angle 0^\circ $:
Passo 9
Primeiro, calcule o denominador em termos de módulo e fase:
Então:
Passo 10
Agora, o numerador:
Então:
Passo 11
Substituindo na expressão de $ Y $:
Passo 12
Convertendo de volta para a forma temporal:
Resposta
A resposta em regime permanente é aproximadamente