Dada a função de transferência de uma planta G(s), deseja-se determinar a função de transferência Gc(s) do compensador de atraso de fase que faz com que o erro estacionário de posição seja es s=-1 / 29, mantendo os polos dominantes de malha fechada aproximadamente na mesma posição. Fixe o polo do compensador na posição -0,01+0 j. Note que a presença do polo no SPD faz com que o erro estacionário seja negativo, ou seja, o valor final é maior que o valor da referência.
G(s)=4(s+6)(s-2)(s+4)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos:
– Matéria: Projeto de compensador de atraso de fase (lag) em sistemas de malha fechada.
– O que precisamos: determinar um compensador
Gc(s)=K;s+zs+p
que garanta erro estacionário de posição
ess=-tfrac129
num sistema de realimentação unitária, sem alterar muito os polos dominantes, e com o polo já fixado em
p=0.01,
Pra isso vamos usar a fórmula do erro estacionário para entrada degrau em sistema de malha fechada e escolher e .

Passo 2

Escrevendo a função de erro em frequência s para realimentação unitária:
E(s)=R(s)1+G(s),Gc(s),
Para entrada degrau, ess=limsto0s,E(s) =limsto0s,(1/s)1+G(s),Gc(s) =11+G(0),Gc(0), , então o erro estacionário é
$$e_{ss}=\lim_{s\to0}s,E(s)
=\lim_{s\to0}\frac{s,(1/s)}{1+G(s),G_c(s)}
=\frac{1}{1+G(0),G_c(0)},. $$
Aqui usamos o Teorema do Valor Final e o fato de e serem finitos.

Passo 3

Calculemos G(0)=4,(0+6)(0-2)(0+4) =24-8=-3, e Gc(0)=K,z0.01, :
– Para a planta , vale
– Para o compensador , em

Passo 4

Impondo 11 + G(0),Gc(0) = -129 ;Longrightarrow; 1 + (-3),l(Kz0.01r) =-29 , temos
1 - 300,Kz = -29 Longrightarrow 300,Kz = 30 Longrightarrow K,z = 0.1,

Passo 5

Falta escolher um z = 0.001 Longrightarrow K = 0.1z = 0.10.001 = 100 pequeno (pra não mexer no lugar das raízes dominantes) e determinar .
Uma escolha típica de compensador lag é posicionar o zero uma década antes do polo, por ex.:

Resposta

O compensador de atraso de fase que atende ao enunciado é
boxedGc(s)=100,s+0.001s+0.01,

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