Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
G(s)=250(s+4)(s+2)(s+5)(s+8)
Projete um compensador do tipo PID que atenda as seguintes especificações:
© Obtenha um erro estacionário de posição nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária e ramo direto
G(s)=250,(s+4)(s+2)(s+5)(s+8)
e pede, na parte ©, um compensador do tipo PID que garanta erro estacionário de posição nulo (ou seja, para entrada degrau).
Conteúdo-chave: análise de erro em regime permanente e o conceito de “tipo” do sistema (quantidade de polos em zero). Para zerar o erro a um degrau, precisamos que o sistema seja, no mínimo, do tipo 1, ou seja, que haja um integrador no laço.

Passo 2

Teoria do erro em regime permanente:
  • Para malha unitária, definimos a função de erro einfty=limttoinftye(t) =limsto0 s,E(s) =limsto0s,(1/s)1+L(s) =11+L(0) , com .
  • Se a entrada for um degrau, . O erro estacionário é
  • Para termos , precisamos de . Isso só ocorre se tiver um polo em , ou seja, um integrador.

Passo 3

Como o sistema original C(s)=KP + KIs + KD,s não tem integrador ( é finito), temos tipo 0 e erro finito para degrau. Para elevar ao tipo 1, basta incluir um em .
Um compensador PID genérico é
Para garantir erro zero a degrau, basta que . Os ganhos e podem ser ajustados depois por desempenho dinâmico, mas não afetam o erro estacionário de posição.

Passo 4

Podemos escolher a forma mais simples que inclua o integrador. Por exemplo, fixar C(s)=KIs , e só usar o termo integral:
Isso já garante com um polo em zero, logo .

Resposta

Um compensador do tipo PID que zera o erro estacionário de posição é, por exemplo,
boxedC(s)=KIs, KI>0,
pois introduz um integrador e torna o sistema de tipo 1, resultando em erro estacionário nulo para entrada degrau.

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