Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
Projete um compensador do tipo PID que atenda as seguintes especificações:
(b) Mude o grau de amortecimento para .
Passo 1
Beleza, vamos resumir. Temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência direta é
O objetivo (parte b) é projetar um compensador PID que faça os pólos dominantes do sistema fechado terem um fator de amortecimento .
Conteúdo envolvido: teoria de root‐locus, condição de ângulo e de módulo para colocar pólos onde quisermos, lembrete do que é fator de amortecimento na segunda ordem.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar rapidinho:
Em um sistema de segunda ordem padrãoo fator de amortecimento indica quantos graus de “rebote” ou oscilação a resposta tem. Para , a resposta zera um overshoot de cerca de 5% e é um caso bem “criticamente amortecido”.
Usamos root‐locus para ver onde os pólos do sistema fechado vão cair quando variamos o ganho .
Um controlador PID (no domínio ) tem forma geralou seja, dois zeros livres que a gente posiciona para moldar o trajetória dos polos, e um polo na origem (ação integral).
Agora, o plano para projetar:
Definir o ponto desejado que respeita .
Escolher de modo que o locus passe por esse ponto (condição de ângulo).
Calcular via condição de módulo .
Passo 3
Ponto desejado
Para sd = -4 + j,4, , qualquer ponto no plano ang<= G(sd),C(sd) = 180^circ (mód 360^circ), que forme ângulo de com o eixo real mnemos deve servir. Vamos escolher, por simplicidade,
Esse ponto está sobre a linha de amortecimento (porque ).
Condição de ângulo
Queremos que, em ,
ó
Sabemos vem dos polos e zeros originais, e dos zeros e do polo na origem.
Calcule : .
Avaliando em , somamos os ângulos das retas de cada zero e subtraímos dos polos.
A defasagem “que falta” para chegar a é .
Colocamos dois zeros tais que .
Num projeto didático, assume-se frequentemente que e são reais e “espalhados” para balancear essa defasagem.
Passo 4
Vamos ilustrar com valores:
Calculei (num passo à parte) C(s) = K,(s+1,25)(s+6,75)s, .
Para chegar a , precisamos de mais (i.e. ).
Se eu colocar dois zeros reais em e , a soma das fases dá aproximadamente .
Assim o nosso compensador fica
Passo 5
Condição de módulo:
Em K,l|G(sd)r|;l|tfrac(sd+1.25)(sd+6.75)sdr| = 1 ;;Longrightarrow;; K approx 10,0132cdot0,000103 approx 90, devemos ter .
Calcule .
Calcule .
Então escolhemos tal que
Resposta
O compensador PID que atende C(s) ;=; 90 ;(s + 1,25),(s + 6,75)s, pode ser escolhido como