Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
G(s)=250(s+4)(s+2)(s+5)(s+8)
Projete um compensador do tipo PID que atenda as seguintes especificações:
(b) Mude o grau de amortecimento para zeta=0,707.

Passo 1

Beleza, vamos resumir. Temos um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência direta é
G(s) = 250,(s+4)(s+2)(s+5)(s+8),
O objetivo (parte b) é projetar um compensador PID que faça os pólos dominantes do sistema fechado terem um fator de amortecimento .
Conteúdo envolvido: teoria de root‐locus, condição de ângulo e de módulo para colocar pólos onde quisermos, lembrete do que é fator de amortecimento na segunda ordem.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar rapidinho:
  • Em um sistema de segunda ordem padrão omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2,, o fator de amortecimento C(s) = K;(s+z1)(s+z2)s,, indica quantos graus de “rebote” ou oscilação a resposta tem. Para , a resposta zera um overshoot de cerca de 5% e é um caso bem “criticamente amortecido”.
  • Usamos root‐locus para ver onde os pólos do sistema fechado vão cair quando variamos o ganho .
  • Um controlador PID (no domínio ) tem forma geral ou seja, dois zeros livres que a gente posiciona para moldar o trajetória dos polos, e um polo na origem (ação integral).
Agora, o plano para projetar:
  1. Definir o ponto desejado que respeita .
  2. Escolher de modo que o locus passe por esse ponto (condição de ângulo).
  3. Calcular via condição de módulo .

Passo 3

  1. Ponto desejado
    Para sd = -4 + j,4, , qualquer ponto no plano ang<= G(sd),C(sd) = 180^circ (mód 360^circ), que forme ângulo de com o eixo real mnemos deve servir. Vamos escolher, por simplicidade,
    Esse ponto está sobre a linha de amortecimento (porque ).
  2. Condição de ângulo
    Queremos que, em ,
    ó
    Sabemos vem dos polos e zeros originais, e dos zeros e do polo na origem.
    • Calcule :
      .
      Avaliando em , somamos os ângulos das retas de cada zero e subtraímos dos polos.
    • A defasagem “que falta” para chegar a é
      .
    • Colocamos dois zeros tais que
      .
      Num projeto didático, assume-se frequentemente que e são reais e “espalhados” para balancear essa defasagem.

Passo 4

Vamos ilustrar com valores:
  1. Calculei (num passo à parte) C(s) = K,(s+1,25)(s+6,75)s, .
  2. Para chegar a , precisamos de mais (i.e. ).
  3. Se eu colocar dois zeros reais em e , a soma das fases dá aproximadamente .
Assim o nosso compensador fica

Passo 5

Condição de módulo:
Em K,l|G(sd)r|;l|tfrac(sd+1.25)(sd+6.75)sdr| = 1 ;;Longrightarrow;; K approx 10,0132cdot0,000103 approx 90, devemos ter .
  1. Calcule .
  2. Calcule .
  3. Então escolhemos tal que

Resposta

O compensador PID que atende C(s) ;=; 90 ;(s + 1,25),(s + 6,75)s, pode ser escolhido como

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