Dada a função de transferência da planta G(s), projete o compensador de avanço de fase que faz com que os polos dominantes de malha fechada estejam na posição -2 pm 10 j. Para tanto, fixe o polo do compensador na posição -10+0 j e determine a função de transferência do compensador Gc(s).
G(s)=1s^2+25

Passo 1

O enunciado pede pra gente projetar um compensador de avanço de fase G(s)=1s^2+25, que, em malha fechada com a planta
coloque os polos dominantes em . A gente vai fixar o polo do compensador em e determinar a zero e o ganho de . Para isso precisamos usar o critério de ângulo (para fase) e o critério de magnitude (para o ganho) do lugar das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a defasagem que a planta fornece no ponto s0^2 =(-2+10j)^2 = -96 -40j, s0^2+25 = -71 -40j .
  1. Calcular ang<= G(s0) = -,ang<=l(s0^2+25r) = -,atan2l(-40,,-71r) approx +150,7^circ :
  1. O ângulo de é

Passo 3

Como no ponto phic = -180^circ - 150,7^circ = -330,7^circ equiv +29,3^circ pmod360^circ a função em malha aberta deve ter , o compensador tem que fornecer

Passo 4

Escrevemos o compensador genérico
Gc(s) =K;s+zs+10
No ponto ang<= Gc(s0) =ang<=(s0+z)-ang<=(s0+10) a fase dele é
ang<=(s0+z) =51,34^circ +29,3^circ =80,64^circ
Já sabemos que , então precisamos de
tan(80,64^circ) =10z-2 Rightarrow z-2=106,47approx1,545 Rightarrow zapprox3,545
Seja real, então

Passo 5

Agora usamos o critério de magnitude 1 =|Gc(s0)|;|G(s0)| =K;|s0+z||s0+10|;1|s0^2+25| :
|s0+z|=raiz1,545^2+10^2approx10,119, |s0+10|=raiz8^2+10^2=12,806, |s0^2+25|=raiz(-71)^2+(-40)^2approx81,49
Já temos
1 =K;10,11912,806;181,49 Rightarrow Kapprox103,1
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Resposta

boxedGc(s)=103,1,s+3,545s+10

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