Obter a função de transferência em malha fechada de cada um dos sistemas para K=1. Obs.: Se possível calcule manualmente e compare com os resultados do Octave.
Considere as seguintes funções de transferência para as Questões 3, 4 e 5.
a) 2 s-1s^2-5 s+6
b) s+3s^2+2 s
c) (s+1)(s+3)(s+2)(s+2)(s-2)
d) 4s^2+2 s+3
e) s^2+2 s+1.25s^3+s^2-4 s-4
f) 10s^2+2 s-2

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar a função de transferência em malha fechada (com realimentação unitária) de seis sistemas diferentes, todos com ganho K = 1. Isso entra no assunto de Sistemas de Controle – mais especificamente realimentação de malha fechada. O que vamos usar é a fórmula básica:
T(s) ;=;K,G(s)1 + K,G(s),
mas aqui K = 1, então vira
T(s) ;=;G(s)1 + G(s)

Passo 2

Antes de sair mexendo em cada função, vamos lembrar a teoria:
  1. G(s) é a função de transferência de malha aberta.
  2. Com realimentação unitária e ganho K, a malha fechada fica .
  3. Aqui K=1 simplifica pra .
  4. A técnica é somar o numerador de G(s) ao denominador de G(s), formando o novo denominador: Den_novo = Den_G + Num_G.

Passo 3

Aplicando ao item (a):
Ga(s)=2s-1s^2-5s+6
Com K=1:
Ta(s) =2s-1(s^2-5s+6);+;(2s-1) =2s-1s^2 -5s+6 +2s -1 =2s-1s^2 -3s +5

Passo 4

Item (b):
Gb(s)=s+3s^2+2s
Então
Tb(s) =s+3s^2+2s + (s+3) =s+3s^2 +3s +3

Passo 5

Item ©:
Gc(s)=(s+1)(s+3)(s+2)^2,(s-2)
Expande rápido:
Num_c = Tc(s) =s^2+4s+3(s^3+2s^2-4s-8)+(s^2+4s+3) =s^2+4s+3s^3+3s^2 ;+;0s -5 ,
Den_c = .
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Passo 6

Item (d):
Gd(s)=4s^2+2s+3
Então
Td(s) =4(s^2+2s+3)+4 =4s^2+2s+7

Passo 7

Item (e):
Ge(s)=s^2+2s+1.25s^3+s^2-4s-4
Com soma de polinômios dá
Te(s) =s^2+2s+1.25s^3+s^2-4s-4 ;+; (s^2+2s+1.25) =s^2+2s+1.25s^3+2s^2-2s-2.75

Passo 8

Item (f):
Gf(s)=10s^2+2s-2
Logo
Tf(s) =10(s^2+2s-2)+10 =10s^2+2s+8

Resposta

Seguem as funções em malha fechada para K=1:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Se você rodar no Octave (por ex. usando cltf(G,1)), vai ver que bate com essas expressões.

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