Dado o sistema dotado de realimentação unitária, cuja função de transferência do ramo direto é
G(s)=Ks(s+5)(s+8)
(a) Verificar o desempenho do sistema não compensado com K=45. Qual o valor do grau de amortecimento zeta ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
G(s)=Ks,(s+5),(s+8)
e nos pede para, com , verificar o desempenho do sistema não compensado e, em particular, qual é o valor do grau de amortecimento .
Conteúdo envolvido: sistemas de controle em malha fechada, equação característica, polos de sistema de terceira ordem, aproximação por dois polos dominantes e cálculo de . Vamos precisar montar a equação característica, achar os polos fechados e extrair do par complexo dominante.

Passo 2

Primeiro a gente monta a função de transferência em malha fechada:
T(s)=G(s)1+G(s) = Ks(s+5)(s+8)1+Ks(s+5)(s+8) = Ks(s+5)(s+8)+K
Com De, o denominador (equação característica) fica

Passo 3

Agora precisamos achar os polos dessa equação cúbica. Geralmente ela dá um polo real e um par de polos complexos conjugados. Fiz uma divisão sintética (ou uso calculadora) e encontro:
  • Polo real aproximado: s^2 + 3,83,s + 4,90 = 0, .
  • Resto da divisão dá o polinômio quadrático
s2,3 = -3,83 pm raiz3,83^2 - 4cdot4,902 approx -1,915 pm j,1,11
cuja solução são

Passo 4

O par conjugado dominante é s^2 + 2,zeta,omegan,s + omegan^2 = 0, . Para um sistema de segunda ordem equivalente, a forma padrão é
zeta = 3,832cdot2,21 approx 0,865
onde

e
,
logo .
Assim

Resposta

O grau de amortecimento do sistema não compensado com boxedzeta approx 0,865 é aproximadamente

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