Q: vazão em volume em regime permanente
H1 : nivel de liquido do reservatório 1 em regime permanente
barH2 : nivel de liquido do reservatório 2 em regime permanente
modele esse sistema aplicando a transformada de laplace e encontre a função de transferência do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para modelar um sistema de vazão em volume sob regime permanente usando a transformada de Laplace e encontrar a função de transferência. A matéria envolvida aqui inclui sistemas dinâmicos, transformadas de Laplace e funções de transferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace nas equações que descrevem os níveis de líquido nos reservatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os reservatórios 1 e 2 com níveis de líquido $ H_{1} $ e $ \bar{H}_{2} $ em regime permanente. Como estamos lidando com vazões, podemos usar a equação da continuidade, que relaciona a taxa de variação do volume com as vazões de entrada e saída.

Passo 3

Vamos assumir que a vazão $ Q $ é a entrada no reservatório 1 e que a saída do reservatório 1 é a entrada para o reservatório 2. A taxa de mudança no nível do líquido em cada reservatório pode ser descrita pelas seguintes equações diferenciais:
Q
dH1(t)dt = Q(t) - k H1(t)A1
Aqui, $ k $ e $ \bar{k} $ são constantes que relacionam a vazão com o nível do líquido, e $ A_{1} $ e $ A_{2} $ são as áreas das seções transversais dos reservatórios.

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada de Laplace nas equações diferenciais. Lembrando que a transformada de Laplace de $ \frac{dH(t)}{dt} $ é $ sH(s) - H(0) $, onde $ H(s) $ é a transformada de $ H(t) $ e $ H(0) $ é a condição inicial.
Transformando a primeira equação:
dH(t)dt
E a segunda equação:
sH(s) - H(0)

Passo 5

Vamos assumir que as condições iniciais $ H_{1}(0) $ e $ H_{2}(0) $ são zero, já que estamos analisando em regime permanente. Assim, as equações ficam:
H1(0)
H2(0)

Passo 6

Rearranjando a primeira equação para isolar $ H_{1}(s) $:
H1(s)
sH1(s) A1 + k H1(s) = Q(s)
H1(s) (s A1 + k) = Q(s)

Passo 7

Agora, substituímos $ H_{1}(s) $ na segunda equação:
H1(s)
Multiplicando ambos os lados por $ A_{2} $:
sH2(s) = k ( Q(s)s A1 + k ) - bark H2(s)A2

Passo 8

Rearranjando para isolar $ H_{2}(s) $:
H2(s)
s A2 H2(s) + bark H2(s) = k Q(s)s A1 + k
H2(s) (s A2 + bark) = k Q(s)s A1 + k

Passo 9

Agora, queremos a função de transferência do sistema, que relaciona a saída $ H_{2}(s) $ com a entrada $ Q(s) $. Assim, a função de transferência $ G(s) $ é:
H2(s)

Resposta

A função de transferência do sistema é:
G(s) = H2(s)Q(s) = k(s A1 + k)(s A2 + bark)

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