Q: vazão em volume em regime permanente
: nivel de liquido do reservatório 1 em regime permanente
: nivel de liquido do reservatório 2 em regime permanente
modele esse sistema aplicando a transformada de laplace e encontre a função de transferência do sistema.
modele esse sistema aplicando a transformada de laplace e encontre a função de transferência do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para modelar um sistema de vazão em volume sob regime permanente usando a transformada de Laplace e encontrar a função de transferência. A matéria envolvida aqui inclui sistemas dinâmicos, transformadas de Laplace e funções de transferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace nas equações que descrevem os níveis de líquido nos reservatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os reservatórios 1 e 2 com níveis de líquido $ H_{1} $ e $ \bar{H}_{2} $ em regime permanente. Como estamos lidando com vazões, podemos usar a equação da continuidade, que relaciona a taxa de variação do volume com as vazões de entrada e saída.
Passo 3
Vamos assumir que a vazão $ Q $ é a entrada no reservatório 1 e que a saída do reservatório 1 é a entrada para o reservatório 2. A taxa de mudança no nível do líquido em cada reservatório pode ser descrita pelas seguintes equações diferenciais:
Aqui, $ k $ e $ \bar{k} $ são constantes que relacionam a vazão com o nível do líquido, e $ A_{1} $ e $ A_{2} $ são as áreas das seções transversais dos reservatórios.
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada de Laplace nas equações diferenciais. Lembrando que a transformada de Laplace de $ \frac{dH(t)}{dt} $ é $ sH(s) - H(0) $, onde $ H(s) $ é a transformada de $ H(t) $ e $ H(0) $ é a condição inicial.
Transformando a primeira equação:
E a segunda equação:
Passo 5
Vamos assumir que as condições iniciais $ H_{1}(0) $ e $ H_{2}(0) $ são zero, já que estamos analisando em regime permanente. Assim, as equações ficam:
Passo 6
Rearranjando a primeira equação para isolar $ H_{1}(s) $:
Passo 7
Agora, substituímos $ H_{1}(s) $ na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por $ A_{2} $:
Passo 8
Rearranjando para isolar $ H_{2}(s) $:
Passo 9
Agora, queremos a função de transferência do sistema, que relaciona a saída $ H_{2}(s) $ com a entrada $ Q(s) $. Assim, a função de transferência $ G(s) $ é:
Resposta
A função de transferência do sistema é: