1. Dada a função y=\frac{\log _{3}\left(x^{4}-5 x^{2}+4\right)}{\sqrt{x^{2}}} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = \frac{\log_{3}\bigl(x^{4} - 5x^{2} + 4\bigr)}{\sqrt{x^{2}}},
e pede (a) o domínio e (b) os zeros. Vamos precisar de dois requisitos para o domínio:
  1. O argumento do logaritmo deve ser positivo.
  2. O denominador \sqrt{x^{2}}=|x| não pode ser zero.

Passo 2

Condições para o domínio:
1.
x^{4} - 5x^{2} + 4 > 0.
\sqrt{x^{2}} = |x| \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 0.

Passo 3

Resolver a desigualdade
x^{4} - 5x^{2} + 4 > 0.
Faça a substituição t = x^{2}, com t\ge0. Então
x^{4} - 5x^{2} + 4 = t^{2} - 5t + 4
e a desigualdade vira
t^{2} - 5t + 4 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (t-1)(t-4) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t<1 \text{ ou } t>4.
Como t = x^{2}, temos 0\le x^{2}<1 ou x^{2}>4. E lembrando x\neq0, o domínio é
(-\infty,-2)\;\cup\;(-1,0)\;\cup\;(0,1)\;\cup\;(2,\infty).

Passo 4

Para achar os zeros, impomos y=0. Como o denominador nunca anula zeros, basta
\log_{3}\bigl(x^{4} - 5x^{2} + 4\bigr) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{4} - 5x^{2} + 4 = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{4} - 5x^{2} + 3 = 0.
De novo use t = x^{2}, gerando
t^{2} - 5t + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}.
Logo
x^{2} = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \quad\text{ou}\quad x^{2} = \frac{5 - \sqrt{13}}{2},
e por fim
x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{13}}{2}}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{5 - \sqrt{13}}{2}}.

Passo 5

Checando no domínio:
  • \sqrt{\tfrac{5-\sqrt{13}}{2}}\approx0,835 está em (0,1), e o negativo em (-1,0).
  • \sqrt{\tfrac{5+\sqrt{13}}{2}}\approx2,074 está em (2,\infty), e o negativo em (-\infty,-2).
    Portanto, todas as quatro raízes são válidas zeros da função.

Resposta

(a) O domínio é
(-\infty,-2)\;\cup\;(-1,0)\;\cup\;(0,1)\;\cup\;(2,\infty).
(b) Os zeros são
x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{13}}{2}} \quad\text{e}\quad x = \pm \sqrt{\frac{5 - \sqrt{13}}{2}}.

Exercícios relacionados