Resolva em R a seguinte equação:
2^{2 x}-5.2^{x}+4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
2^{2x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0.
O conteúdo principal aqui é equação exponencial, e vamos usar a técnica de substituição para transformá-la numa equação quadrática em uma nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição \;t = 2^{x}, observando que \;t>0.
Nesse caso
2^{2x} = \bigl(2^{x}\bigr)^{2} = t^{2},
portanto a equação original vira
t^{2} \;-\;5\,t\;+\;4 \;=\;0.

Passo 3

Resolvendo a quadrática
t^{2} - 5t + 4 = 0
por fatoração, temos
t^{2} - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0,
logo as raízes são
t = 1 \quad\text{ou}\quad t = 4.

Passo 4

Voltando à variável x, resolvemos duas equações exponenciais:
Para t = 1:
2^{x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Para t = 4:
2^{x} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Portanto, as soluções reais são x=0 e x=2.

Resposta

As raízes da equação são
x = 0 \quad\text{e}\quad x = 2.

Exercícios relacionados