1. Dada a função y=\frac{\sqrt{x^{2}-5 x+4}}{\log _{2}(x+1)} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e os zeros da função
y = \frac{\sqrt{x^{2} - 5x + 4}}{\log_{2}(x+1)}.
Para isso vamos usar as condições de existência de uma raiz quadrada (radicando >=0) e de um logaritmo (argumento >0 e denominador \neq 0).

Passo 2

Impondo radicando >=0, temos
x^{2} - 5x + 4 \ge 0.
Fatorando,
x^{2} - 5x + 4 = (x-1)(x-4),
o que dá a solução
x \le 1 \quad\text{ou}\quad x \ge 4.

Passo 3

Para o logaritmo em base 2, o argumento precisa satisfazer
x+1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -1,
e o denominador não pode ser zero, ou seja
\log_{2}(x+1) \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x+1 \neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 0.

Passo 4

Agora intersectamos as condições:
(x \le 1\;\lor\;x \ge 4)\quad\cap\;(x > -1)\quad\setminus\;\{0\}.
Isto resulta em
(-1,1]\cup[4,\infty)\;\setminus\;\{0\} \;\;=\;\;(-1,0)\cup(0,1]\cup[4,\infty).

Passo 5

Os zeros ocorrem quando o numerador se anula, ou seja
\sqrt{x^{2}-5x+4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\;\text{ou}\;x=4.
Como ambos estão no domínio, são realmente zeros da função.

Resposta

a. O domínio é
(-1,0)\cup(0,1]\cup[4,\infty).
b. Os zeros são x=1 e x=4.

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