Dada la función f cuya expresión es:
Hallar
y
para que la función f sea continua en
y tenga un mínimo en
Hallar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas formas diferentes: uma para quando
é menor ou igual a zero, e outra para quando
é maior que zero. O objetivo aqui é encontrar os valores de
e
de modo que essa função seja contínua em
e que tenha um mínimo em
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites para garantir a continuidade e derivadas para encontrar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos) deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e também igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
usando a primeira parte da definição:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando
:
Simplificando o denominador:
Então,
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em
. Já sabemos que
e o limite pela direita é
. O limite pela esquerda, quando
, é:
Substituindo
:
Então, temos:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos garantir que a função tenha um mínimo em
. Para isso, precisamos encontrar a derivada da função para
(já que 2 é positivo) e igualar a zero nesse ponto. A função para
é:
Já sabemos que
, então:
Passo 7
Vamos calcular a derivada de
usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Distribuindo o sinal negativo:
Então,
Passo 8
Para encontrar o mínimo em
, igualamos a derivada a zero nesse ponto:
Calculando:
Então,
Resposta
Os valores que garantem que a função
seja contínua em
e tenha um mínimo em
são: