Dada la función f cuya expresión es: f(x)=lllx^2+1x-1 & si & x <= 0 a x+bx^2+2 x+1 & si & x>0
Hallar a y b para que la función f sea continua en x=0 y tenga un mínimo en x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) que é definida de duas formas diferentes: uma para quando x é menor ou igual a zero, e outra para quando x é maior que zero. O objetivo aqui é encontrar os valores de a e b de modo que essa função seja contínua em x = 0 e que tenha um mínimo em x = 2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites para garantir a continuidade e derivadas para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em x = 0. Isso significa que o limite da função quando x se aproxima de 0 pela direita (valores positivos) deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e também igual ao valor da função em x = 0.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em x = 0 usando a primeira parte da definição:
f(0) = 0^2 + 10 - 1 = 1-1 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando x > 0:
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ a x + bx^2 + 2x + 1
Simplificando o denominador:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Então,
limx to 0^+ a x + b(x + 1)^2 = 0 + b(0 + 1)^2 = b1 = b

Passo 5

Para que a função seja contínua em x = 0, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em x = 0. Já sabemos que f(0) = -1 e o limite pela direita é b. O limite pela esquerda, quando x <= 0, é:
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- x^2 + 1x - 1
Substituindo x = 0:
0^2 + 10 - 1 = 1-1 = -1
Então, temos:
-1 = b
Portanto, b = -1.

Passo 6

Agora, vamos garantir que a função tenha um mínimo em x = 2. Para isso, precisamos encontrar a derivada da função para x > 0 (já que 2 é positivo) e igualar a zero nesse ponto. A função para x > 0 é:
f(x) = a x + bx^2 + 2x + 1
Já sabemos que b = -1, então:
f(x) = a x - 1x^2 + 2x + 1

Passo 7

Vamos calcular a derivada de f(x) usando a regra do quociente:
f'(x) = (a)(x^2 + 2x + 1) - (a x - 1)(2x + 2)(x^2 + 2x + 1)^2
Simplificando o numerador:
a(x^2 + 2x + 1) - (a x - 1)(2x + 2) = a x^2 + 2a x + a - [2a x^2 + 2a x - 2x - 2]
Distribuindo o sinal negativo:
a x^2 + 2a x + a - 2a x^2 - 2a x + 2x + 2 = -a x^2 + 2x + (a + 2)
Então,
f'(x) = -a x^2 + 2x + a + 2(x^2 + 2x + 1)^2

Passo 8

Para encontrar o mínimo em x = 2, igualamos a derivada a zero nesse ponto:
f'(2) = -a (2)^2 + 2(2) + a + 2(2^2 + 2*2 + 1)^2 = 0
Calculando:
-4a + 4 + a + 2(4 + 4 + 1)^2 = -3a + 681 = 0
Então,
-3a + 6 = 0 -3a = -6 a = 2

Resposta

Os valores que garantem que a função f(x) seja contínua em x = 0 e tenha um mínimo em x = 2 são:
a = 2 e b = -1

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