Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer construir um paralelepípedo retangular com um volume de 9 litros, onde um lado da base é o dobro do outro. Nosso objetivo é encontrar as medidas desses lados de forma que a área total das 6 faces seja a menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, como volume, área e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar de $ x $ o comprimento de um lado da base. Como o outro lado da base é o dobro, ele será $ 2x $. A altura do paralelepípedo será $ h $.

Passo 3

Agora, sabemos que o volume $ V $ do paralelepípedo é dado por:
V
E nos foi dado que $ V = 9 $ litros. Então:
V = x times 2x times h = 2x^2h
Podemos isolar $ h $:
V = 9

Passo 4

A próxima etapa é calcular a área total $ S $ das 6 faces do paralelepípedo. A fórmula para a área total é:
S
Onde:
  • $ a = x $
  • $ b = 2x $
  • $ c = h $
Substituindo:
S = 2(ab + ac + bc)

Passo 5

Agora, vamos substituir $ h $ da equação do volume na expressão da área:
h

Passo 6

Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza a área total $ S $, precisamos derivar $ S $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
x
Igualando a derivada a zero:
S
S
x
dSdx = 8x - 27x^2
8x - 27x^2 = 0

Passo 7

Com $ x = \frac{3}{2} $ unidades, encontramos o outro lado da base:
x = 32
E a altura $ h $:
2x = 2 times 32 = 3 unidades

Resposta

As dimensões que minimizam a área total são:
  • Um lado da base: $ \frac{3}{2} $ unidades
  • Outro lado da base: $ 3 $ unidades
  • Altura: $ 2 $ unidades

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