Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer construir um paralelepípedo retangular com um volume de 9 litros, onde um lado da base é o dobro do outro. Nosso objetivo é encontrar as medidas desses lados de forma que a área total das 6 faces seja a menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, como volume, área e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar de $ x $ o comprimento de um lado da base. Como o outro lado da base é o dobro, ele será $ 2x $. A altura do paralelepípedo será $ h $.
Passo 3
Agora, sabemos que o volume $ V $ do paralelepípedo é dado por:
E nos foi dado que $ V = 9 $ litros. Então:
Podemos isolar $ h $:
Passo 4
A próxima etapa é calcular a área total $ S $ das 6 faces do paralelepípedo. A fórmula para a área total é:
Onde:
- $ a = x $
- $ b = 2x $
- $ c = h $
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ h $ da equação do volume na expressão da área:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza a área total $ S $, precisamos derivar $ S $ em relação a $ x $ e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Com $ x = \frac{3}{2} $ unidades, encontramos o outro lado da base:
E a altura $ h $:
Resposta
As dimensões que minimizam a área total são:
- Um lado da base: $ \frac{3}{2} $ unidades
- Outro lado da base: $ 3 $ unidades
- Altura: $ 2 $ unidades