Exercício 3. Sabendo que tg(alpha+beta)=-2 e sen(alpha)=(4-raiz5) cdot sen(beta), para alpha, beta in(0, pi2), calcule:
tg(alpha+beta2)

Passo 1

Temos que encontrar tanl(alpha+beta2r) dado que tan(alpha+beta)=-2 e existe a relação sinalpha=(4-raiz5)sinbeta. O conteúdo principal envolve identidade de semissoma de tangente e obter sin(alpha+beta) e cos(alpha+beta).

Passo 2

Como alpha,betain(0,tfracpi2), a soma A=alpha+beta está em (0,pi). Como tan A<0, segue que Ain(tfracpi2,pi), ou seja, sin A>0 e cos A<0.

Passo 3

De tan A=-2 podemos escrever proporções sin A=2k e cos A=-k. Como (2k)^2+(-k)^2=1 temos 5k^2=1, logo k=1/raiz5. Então
sin A=2raiz5,cos A=-1raiz5

Passo 4

Agora usamos a fórmula de semissoma:
tan A2=sin A1+cos A

Passo 5

Substituindo os valores:
tan A2=2/raiz51-1/raiz5=2raiz5-1

Passo 6

Racionalizando o denominador:
2raiz5-1cdotraiz5+1raiz5+1=2(raiz5+1)5-1=raiz5+12

Resposta

raiz5+12

Exercícios relacionados