Dada as funções
encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função
, e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Função fornecida:
. - Perguntas a responder:
- Determinar o conjunto domínio de
. - Determinar o conjunto imagem (alcance, ou conjunto de valores possíveis de
). - Esboçar o gráfico de
. - Localizar pontos de máximos e mínimos (se existirem).
- Encontrar as raízes (interseções com o eixo
). - Encontrar o intercepto com o eixo
.
- Determinar o conjunto domínio de
Passo 2
Entendendo e calculando o domínio:
- Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define faz sentido (está bem definida). - Observação sobre polinômios: expressões polinomiais como
estão definidas para todo número real; não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo, etc. - Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais.
- Escrevendo em notação padrão:
Passo 3
Como encontrar a imagem (intervalo de valores de
) usando completar o quadrado:
- Ideia: para saber quais valores
pode assumir, examine a forma da função. A função é quadrática com coeficiente de positivo (abre para cima), então existe um mínimo e fica a partir desse mínimo para cima. - Método (completar o quadrado) passo a passo:
Escrevendo como um quadrado perfeito:
- Interpretação:
é sempre para todo . Portanto o menor valor de é , que ocorre quando . Assim o menor valor de é . - Conclusão:
nunca fica abaixo de , e atinge em . Logo a imagem é o intervalo fechado que começa em e vai até infinito:
Passo 4
Verificação alternativa (cálculo de derivadas) — útil na prova:
- Derivada primeira:
- Zerar a derivada para achar pontos críticos:
- Segunda derivada:
o que indica que o ponto crítico em
é um mínimo local (e, no caso de uma parábola que abre para cima, é mínimo global).
- Valor no ponto:
- Confirmação: mínimo global em
. Não há máximo (a função cresce sem limite quando ).
Passo 5
Encontrando as raízes (interseções com o eixo
):
- Resolver
:
- Não existe número real cujo quadrado seja
. Alternativamente, olhar o discriminante da equação quadrática com , , :
- Conclusão: não há raízes reais — a parábola não corta o eixo
.
Passo 6
Intercepto com o eixo
e pontos úteis para o desenho:
- Intercepto com o eixo
é :
logo o ponto é
. (Esse ponto é também o vértice da parábola.)
- Pontos simétricos para esboçar: calcule valores simples para
:
Esses pontos ajudam a traçar a curva:
.
Passo 7
Como esboçar o gráfico na prova (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o vértice em
. Trace a reta vertical como eixo de simetria mentalmente (a parábola é simétrica em relação a ). - Marque os pontos calculados
. - Una esses pontos com uma curva suave em forma de U que abre para cima, passando pelo vértice embaixo e subindo à medida que
aumenta. - Indique que não há interseção com o eixo
(a curva fica sempre acima de ).
Dica rápida: a parábola é estreita/larga dependendo deem . Aqui é “padrão” — nem muito aberta nem muito estreita.
Passo 8
Resumo conceitual e truques para a prova (rápido e prático):
- Para quadráticas
: - Domínio: geralmente
(a menos que haja domínio restrito no enunciado). - Vértice: usando completar o quadrado ou
. Aqui . - Valor do vértice: calcule
. - Raízes: verificar discriminante
. Se , sem raízes reais. - Se
a parábola abre para cima (tem mínimo); se abre para baixo (tem máximo).
- Domínio: geralmente
- Respire fundo — estes passos são mecânicos e rápidos com prática.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Mínimo global: em (valor mínimo
). Não há máximo.
Raízes (interseções com o eixo ): nenhuma raiz real.
Intercepto com o eixo :
Imagem:
Mínimo global: em
Raízes (interseções com o eixo
Intercepto com o eixo