Dada as funções f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função y=f(x), e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
f(x)=x^{2}+4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Função fornecida: f(x)=x^{2}+4.
  • Perguntas a responder:
    1. Determinar o conjunto domínio de f.
    2. Determinar o conjunto imagem (alcance, ou conjunto de valores possíveis de y).
    3. Esboçar o gráfico de y=f(x).
    4. Localizar pontos de máximos e mínimos (se existirem).
    5. Encontrar as raízes (interseções com o eixo x).
    6. Encontrar o intercepto com o eixo y.

Passo 2

Entendendo e calculando o domínio:
  • Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (está bem definida).
  • Observação sobre polinômios: expressões polinomiais como x^{2}+4 estão definidas para todo número real; não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo, etc.
  • Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais.
  • Escrevendo em notação padrão:
\text{Domínio}=\mathbb{R}=\{x\in\mathbb{R}\}.í

Passo 3

Como encontrar a imagem (intervalo de valores de y) usando completar o quadrado:
  • Ideia: para saber quais valores y pode assumir, examine a forma da função. A função é quadrática com coeficiente de x^{2} positivo (abre para cima), então existe um mínimo e y fica a partir desse mínimo para cima.
  • Método (completar o quadrado) passo a passo:
f(x)=x^{2}+4.
Escrevendo como um quadrado perfeito:
f(x)=(x-0)^{2}+4.
  • Interpretação: (x-0)^{2} é sempre \ge0 para todo x. Portanto o menor valor de (x-0)^{2} é 0, que ocorre quando x=0. Assim o menor valor de f(x) é 0+4=4.
  • Conclusão: f(x) nunca fica abaixo de 4, e atinge 4 em x=0. Logo a imagem é o intervalo fechado que começa em 4 e vai até infinito:
\text{Imagem} = [4,\infty).

Passo 4

Verificação alternativa (cálculo de derivadas) — útil na prova:
  • Derivada primeira:
f'(x)=2x.
  • Zerar a derivada para achar pontos críticos:
f'(x)=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0.
  • Segunda derivada:
f''(x)=2>0\quad\text{para todo }x,
o que indica que o ponto crítico em x=0 é um mínimo local (e, no caso de uma parábola que abre para cima, é mínimo global).
  • Valor no ponto:
f(0)=0^{2}+4=4.
  • Confirmação: mínimo global em (0,4). Não há máximo (a função cresce sem limite quando |x|\to\infty).

Passo 5

Encontrando as raízes (interseções com o eixo x):
  • Resolver f(x)=0:
x^{2}+4=0 \Rightarrow x^{2}=-4.
  • Não existe número real cujo quadrado seja -4. Alternativamente, olhar o discriminante da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=0, c=4:
\Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4\cdot1\cdot4=-16<0.
  • Conclusão: não há raízes reais — a parábola não corta o eixo x.

Passo 6

Intercepto com o eixo y e pontos úteis para o desenho:
  • Intercepto com o eixo y é f(0):
f(0)=4,
logo o ponto é (0,4). (Esse ponto é também o vértice da parábola.)
  • Pontos simétricos para esboçar: calcule valores simples para x=\pm1,\pm2:
f(1)=1^{2}+4=5,\quad f(-1)=5,
f(2)=4+4=8,\quad f(-2)=8.
Esses pontos ajudam a traçar a curva: (-2,8),(-1,5),(0,4),(1,5),(2,8).

Passo 7

Como esboçar o gráfico na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o vértice em (0,4). Trace a reta vertical x=0 como eixo de simetria mentalmente (a parábola é simétrica em relação a x=0).
  3. Marque os pontos calculados (-2,8),(-1,5),(0,4),(1,5),(2,8).
  4. Una esses pontos com uma curva suave em forma de U que abre para cima, passando pelo vértice embaixo e subindo à medida que |x| aumenta.
  5. Indique que não há interseção com o eixo x (a curva fica sempre acima de y=4).
    Dica rápida: a parábola é estreita/larga dependendo de a em ax^{2}+bx+c. Aqui a=1 é “padrão” — nem muito aberta nem muito estreita.

Passo 8

Resumo conceitual e truques para a prova (rápido e prático):
  • Para quadráticas ax^{2}+bx+c:
    • Domínio: geralmente \mathbb{R} (a menos que haja domínio restrito no enunciado).
    • Vértice: usando completar o quadrado ou x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui b=0\Rightarrow x_v=0.
    • Valor do vértice: calcule f(x_v).
    • Raízes: verificar discriminante \Delta=b^{2}-4ac. Se \Delta<0, sem raízes reais.
    • Se a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo); se a<0 abre para baixo (tem máximo).
  • Respire fundo — estes passos são mecânicos e rápidos com prática.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [4,\infty)
Mínimo global: em (0,4) (valor mínimo 4). Não há máximo.
Raízes (interseções com o eixo x): nenhuma raiz real.
Intercepto com o eixo y: (0,4)

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