Dada as funções f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função y=f(x), e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
f(x)=2 x-7

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f definida por f(x)=2x-7. Vou listar claramente o que precisamos encontrar:
  • O conjunto domínio de f.
  • O conjunto imagem (range) de f.
  • Um esboço (gráfico) de y=f(x).
  • Pontos de máximos e mínimos (se existirem).
  • As raízes da função (onde f(x)=0).
  • O intercepto com o eixo y (valor de f(0)).
Informações dadas:
  • A própria função: f(x)=2x-7.

Passo 2

Domínio — o que isso significa e como achar:
  • Definição rápida: o domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função faz sentido.
  • Aqui a função é um polinômio de primeiro grau, f(x)=2x-7. Polinômios estão definidos para todo número real; não há divisão por zero, raízes pares de número negativo, logaritmos, etc.
  • Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Escrito em notação:
\text{Domínio}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).í

Passo 3

Imagem (range) — conceito e procedimento:
  • Definição rápida: imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y=f(x) quando x percorre o domínio.
  • Método útil para funções lineares: resolver a equação y=2x-7 para x em função de y. Se para qualquer y real existir um x real correspondente, então a imagem é \mathbb{R}.
  • Resolver:
y=2x-7 \quad\Rightarrow\quad 2x=y+7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y+7}{2}.
  • Como para qualquer y\in\mathbb{R} a expressão \dfrac{y+7}{2} é um número real, existe x real associado. Logo a imagem é todo \mathbb{R}.
Escrito:
\text{Imagem}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).

Passo 4

Forma reduzida, coeficiente angular e interpretação:
  • A função já está na forma “reta” \,y=mx+b, onde:
    • m é a inclinação (coeficiente angular) e representa a taxa de variação (quanto y muda quando x aumenta em 1).
    • b é o intercepto com o eixo y (valor de y quando x=0).
  • Aqui identificamos:
m=2,\qquad b=-7.
  • Interpretação: a reta sobe (porque m>0) e, ao ir 1 unidade para a direita, y aumenta em 2 unidades.

Passo 5

Confirmando a inclinação com dois pontos (para aprender a desenhar):
  • Calcule f(0) e f(1):
f(0)=2\cdot 0-7=-7, \qquad f(1)=2\cdot1-7=-5.
  • A variação em y ao ir de x=0 para x=1 é -5-(-7)=2. A variação em x é 1-0=1. Logo a inclinação é \dfrac{2}{1}=2, bate com m=2.

Passo 6

Raiz da função (onde corta eixo x):
  • Para achar a raiz, resolvemos f(x)=0:
2x-7=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{7}{2}.
  • Portanto a função corta o eixo x no ponto \left(\dfrac{7}{2},0\right), que é \left(3{,}5,0\right).

Passo 7

Intercepto com o eixo y:
  • Já calculado acima: f(0)=-7.
  • O intercepto com o eixo y é o ponto \left(0,-7\right).

Passo 8

Máximos e mínimos — regra e aplicação:
  • Para funções lineares do tipo y=mx+b com m\neq0, a função é monótona (cresce se m>0 ou decresce se m<0) e não tem máximo nem mínimo global; também não tem extremos locais.
  • Aqui m=2>0, então f é estritamente crescente. Conclusão: não há pontos de máximo nem mínimo.

Passo 9

Como esboçar o gráfico passo a passo (para você fazer na prova ou rascunho):
  1. Marque o ponto \left(0,-7\right) (intercepto com eixo y).
  2. Marque o ponto \left(\dfrac{7}{2},0\right) (raiz / intercepto com eixo x).
  3. Se quiser um ponto extra, calcule f(1)=-5 e marque (1,-5) ou f(-1)=-9 e marque (-1,-9).
  4. Trace a reta que passa por esses pontos e a estenda para ambos os lados (setas nas extremidades para indicar que continua).
  5. Rotule os pontos importantes: \left(0,-7\right) e \left(\dfrac{7}{2},0\right).
Observação didática curta: desenhar uma reta precisa só de dois pontos distintos; use pontos fáceis (interceptos) para rapidez.

Resposta

\text{Domínio}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right)í
\text{Imagem}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right)
\text{Máximos/minimos: não existe (função estritamente crescente, }m=2>0\text{)}áãçã
\text{Raiz: }x=\dfrac{7}{2}
\text{Intercepto com o eixo }y:\;f(0)=-7

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