Dada as funções
encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função
, e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
definida por
. Vou listar claramente o que precisamos encontrar:
- O conjunto domínio de
. - O conjunto imagem (range) de
. - Um esboço (gráfico) de
. - Pontos de máximos e mínimos (se existirem).
- As raízes da função (onde
). - O intercepto com o eixo
(valor de ).
Informações dadas:
- A própria função:
.
Passo 2
Domínio — o que isso significa e como achar:
- Definição rápida: o domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão da função faz sentido. - Aqui a função é um polinômio de primeiro grau,
. Polinômios estão definidos para todo número real; não há divisão por zero, raízes pares de número negativo, logaritmos, etc. - Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Escrito em notação:
Passo 3
Imagem (range) — conceito e procedimento:
- Definição rápida: imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de
quando percorre o domínio. - Método útil para funções lineares: resolver a equação
para em função de . Se para qualquer real existir um real correspondente, então a imagem é . - Resolver:
- Como para qualquer
a expressão é um número real, existe real associado. Logo a imagem é todo .
Escrito:
Passo 4
Forma reduzida, coeficiente angular e interpretação:
- A função já está na forma “reta”
, onde: -
é a inclinação (coeficiente angular) e representa a taxa de variação (quanto muda quando aumenta em 1). -
é o intercepto com o eixo (valor de quando ).
-
- Aqui identificamos:
- Interpretação: a reta sobe (porque
) e, ao ir 1 unidade para a direita, aumenta em unidades.
Passo 5
Confirmando a inclinação com dois pontos (para aprender a desenhar):
- Calcule
e :
- A variação em
ao ir de para é . A variação em é . Logo a inclinação é , bate com .
Passo 6
Raiz da função (onde corta eixo
):
- Para achar a raiz, resolvemos
:
- Portanto a função corta o eixo
no ponto , que é .
Passo 7
Intercepto com o eixo
:
- Já calculado acima:
. - O intercepto com o eixo
é o ponto .
Passo 8
Máximos e mínimos — regra e aplicação:
- Para funções lineares do tipo
com , a função é monótona (cresce se ou decresce se ) e não tem máximo nem mínimo global; também não tem extremos locais. - Aqui
, então é estritamente crescente. Conclusão: não há pontos de máximo nem mínimo.
Passo 9
Como esboçar o gráfico passo a passo (para você fazer na prova ou rascunho):
- Marque o ponto
(intercepto com eixo ). - Marque o ponto
(raiz / intercepto com eixo ). - Se quiser um ponto extra, calcule
e marque ou e marque . - Trace a reta que passa por esses pontos e a estenda para ambos os lados (setas nas extremidades para indicar que continua).
- Rotule os pontos importantes:
e .
Observação didática curta: desenhar uma reta precisa só de dois pontos distintos; use pontos fáceis (interceptos) para rapidez.