Calcule a integral dupla.
\iint_{R} e^{x^{2}} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq y \leq 1, \quad 3 y \leq x \leq 3\right\} . GAB:
\frac{e^{9}-1}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}}\,dA,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le y\le 1,\; 3y\le x\le 3\}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é e^{x^{2}}.
  • As desigualdades que descrevem R são 0\le y\le 1 e 3y\le x\le 3.
  • Quer-se o valor numérico da integral sobre toda a região R.

Passo 2

Entender bem a região R é essencial antes de integrar. A descrição atual dá y como variável externa ( y vai de 0 a 1) e, para cada y, x vai de 3y até 3. Vou reescrever R trocando a ordem de integração (isto é, descrevendo R como “para cada x, quais são os y possíveis?”).
Da desigualdade 3y\le x\le 3 com 0\le y\le 1 segue:
  • O menor valor possível de x ocorre quando y=0, dando x\ge 0.
  • O maior valor de x é x=3.
    Portanto x varia no intervalo [0,3].
Para um x fixo nesse intervalo, a condição 3y\le x equivale a y\le x/3. Juntando com y\ge 0, obtemos
0\le y\le \frac{x}{3}.
Note que como x\le 3 temos \dfrac{x}{3}\le 1, então a condição y\le1 já está satisfeita.
Logo uma descrição equivalente da região é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\; 0\le y\le x/3\}.

Passo 3

Usando essa descrição, escrevo a integral trocando a ordem de integração (integro primeiro em y):
\iint_{R} e^{x^{2}}\,dA = \int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=0}^{x/3} e^{x^{2}}\,dy\right)dx.
A vantagem é que e^{x^{2}} não depende de y, então a integral interna é simples:
\int_{y=0}^{x/3} e^{x^{2}}\,dy = e^{x^{2}}\cdot\left[\;y\;\right]_{0}^{x/3} = e^{x^{2}}\cdot\frac{x}{3}.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna, a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\iint_{R} e^{x^{2}}\,dA = \int_{0}^{3} e^{x^{2}}\cdot\frac{x}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{3} x e^{x^{2}}\,dx.
Agora uso a técnica de substituição (uma receita padrão para integrais do tipo x e^{x^{2}}):
  • Faço \displaystyle u = x^{2}. Então \displaystyle du = 2x\,dx, ou seja \displaystyle x\,dx = \frac{du}{2}.
  • Quando x=0 temos u=0. Quando x=3 temos u=9.
Substituindo:
\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\int_{u=0}^{9} e^{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{6}\int_{0}^{9} e^{u}\,du.

Passo 5

A integral de e^{u} é e^{u}. Portanto
\frac{1}{6}\int_{0}^{9} e^{u}\,du = \frac{1}{6}\left[e^{u}\right]_{0}^{9} = \frac{1}{6}\bigl(e^{9}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{6}\bigl(e^{9}-1\bigr).
Esse é o valor final da integral dupla. Está explícito como troquei a ordem de integração para evitar integrar e^{x^{2}} diretamente (impossível em primitiva elementar) e como usei substituição para resolver a integral resultante.

Resposta

\dfrac{e^{9}-1}{6}

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