Calcule a integral dupla.
, onde
GAB:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - As desigualdades que descrevem
são e . - Quer-se o valor numérico da integral sobre toda a região
.
Passo 2
Entender bem a região
é essencial antes de integrar. A descrição atual dá
como variável externa (
vai de
a
) e, para cada
,
vai de
até
. Vou reescrever
trocando a ordem de integração (isto é, descrevendo
como “para cada
, quais são os
possíveis?”).
Da desigualdade
com
segue:
- O menor valor possível de
ocorre quando , dando . - O maior valor de
é .
Portantovaria no intervalo .
Para um
fixo nesse intervalo, a condição
equivale a
. Juntando com
, obtemos
Note que como
temos
, então a condição
já está satisfeita.
Logo uma descrição equivalente da região é
Passo 3
Usando essa descrição, escrevo a integral trocando a ordem de integração (integro primeiro em
):
A vantagem é que
não depende de
, então a integral interna é simples:
Passo 4
Substituindo o resultado da integral interna, a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Agora uso a técnica de substituição (uma receita padrão para integrais do tipo
):
- Faço
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos .
Substituindo:
Passo 5
A integral de
é
. Portanto
Esse é o valor final da integral dupla. Está explícito como troquei a ordem de integração para evitar integrar
diretamente (impossível em primitiva elementar) e como usei substituição para resolver a integral resultante.