Calcule a integral dupla. \iint_{R} \frac{y}{x^{5}+1} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\} . GAB: \frac{\ln 2}{10}
Informações importantes que temos (extraídas do enunciado):
A variável x varia de 0 até 1.
Para cada x fixo, a variável y varia de 0 até x^{2}.
A função a integrar é \dfrac{y}{x^{5}+1}.
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha da ordem de integração e razão: como a região R está descrita explicitamente com x variando em um intervalo e y entre duas curvas em função de x, é natural integrar primeiro em y (integral iterada tipo I). Assim escrevemos a integral como
Isso é permitido porque as funções e os limites são contínuos no retângulo/triângulo considerado, então a integral iterada existe e coincide com a integral dupla (regra de Fubini/Tonelli em casos elementares). Além disso, para cada x fixo o denominador x^{5}+1 é constante em relação a y, o que simplifica a integração interna.
Passo 3
Calcular a integral interna em y. Para x fixo, x^{5}+1 é constante, então
Avaliar a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx por substituição. A ideia da substituição é reconhecer x^{5}+1 no denominador e ver que sua derivada envolve x^{4}.
Faça \displaystyle u=x^{5}+1. Então