Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{y}{x^{5}+1} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\} . GAB:
\frac{\ln 2}{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{y}{x^{5}+1}\,dA,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le x^{2}\}.
Informações importantes que temos (extraídas do enunciado):
  • A variável x varia de 0 até 1.
  • Para cada x fixo, a variável y varia de 0 até x^{2}.
  • A função a integrar é \dfrac{y}{x^{5}+1}.
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha da ordem de integração e razão: como a região R está descrita explicitamente com x variando em um intervalo e y entre duas curvas em função de x, é natural integrar primeiro em y (integral iterada tipo I). Assim escrevemos a integral como
\iint_{R}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy\right)dx.
Isso é permitido porque as funções e os limites são contínuos no retângulo/triângulo considerado, então a integral iterada existe e coincide com a integral dupla (regra de Fubini/Tonelli em casos elementares). Além disso, para cada x fixo o denominador x^{5}+1 é constante em relação a y, o que simplifica a integração interna.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Para x fixo, x^{5}+1 é constante, então
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy=\frac{1}{x^{5}+1}\int_{0}^{x^{2}} y\,dy.
Agora faço a integral simples de y:
\int_{0}^{x^{2}} y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x^{2}}=\frac{(x^{2})^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{x^{5}+1}\,dy=\frac{1}{x^{5}+1}\cdot\frac{x^{4}}{2}=\frac{x^{4}}{2\bigl(x^{5}+1\bigr)}.

Passo 4

Substituir o resultado da integral interna na integral externa em x. Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples:
\iint_{R}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{2\bigl(x^{5}+1\bigr)}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx.

Passo 5

Avaliar a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx por substituição. A ideia da substituição é reconhecer x^{5}+1 no denominador e ver que sua derivada envolve x^{4}.
Faça \displaystyle u=x^{5}+1. Então
du=5x^{4}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{4}\,dx=\frac{1}{5}\,du.
Troca dos limites de integração: quando x=0, temos u=0^{5}+1=1; quando x=1, temos u=1^{5}+1=2.

Passo 6

Aplicar a substituição na integral:
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{x^{5}+1}\,dx=\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{5}\,du=\frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
A função \dfrac{1}{u} tem primitiva \ln(u) (logaritmo natural). Portanto
\frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{5}\bigl[\ln(u)\bigr]_{1}^{2}=\frac{1}{5}\bigl(\ln 2-\ln 1\bigr).
Como \ln 1=0, isso fica \dfrac{\ln 2}{5}.

Passo 7

Lembrando o fator \dfrac{1}{2} que estava fora da integral (veja o Passo 4), o valor final da integral dupla é
\iint_{R}\frac{y}{x^{5}+1}\,dA=\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln 2}{5}=\frac{\ln 2}{10}.
Boa! Chegamos ao resultado usando integração em y primeiro e uma substituição simples.

Resposta

\dfrac{\ln 2}{10}

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