Dada hipérbole de equação 9 x^{2}-16 y^{2}+64 y+18 x-199=0, determine:
a) sua equação reduzida;
b) o centro;
c) os vértices e focos;
d) um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
9x^{2}-16y^{2}+64y+18x-199=0
e pede:
– (a) a forma reduzida;
– (b) o centro;
– (c) os vértices e os focos;
– (d) um esboço do gráfico.
O conteúdo principal é completar quadrados para obter a forma canônica de uma hipérbole e, a partir daí, identificar centro, vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y e completamos quadrados. Escrevemos
9x^{2}+18x\;-\;16y^{2}+64y\;-\;199=0.
Extraímos os fatores:
9\bigl(x^{2}+2x\bigr)\;-\;16\bigl(y^{2}-4y\bigr)\;-\;199=0.

Passo 3

Em cada grupo, completamos quadrado:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1, \quad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo:
9\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)\;-\;16\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)\;-\;199=0
9(x+1)^{2}-9\;-\;16(y-2)^{2}+64\;-\;199=0
9(x+1)^{2}-16(y-2)^{2}-144=0
9(x+1)^{2}-16(y-2)^{2}=144.
Dividindo por 144:
\frac{(x+1)^{2}}{16}\;-\;\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1
vemos que o centro é \bigl(-1,2\bigr). Aqui a^{2}=16, b^{2}=9, logo a=4 e b=3.

Passo 5

Como o termo positivo é em x, a hipérbole abre-se para a direita e para a esquerda. Os vértices são
\bigl(-1\pm a,\,2\bigr)=\bigl(-1\pm4,\,2\bigr),
isto é, (3,2) e (-5,2).

Passo 6

Para os focos, calculamos c pela relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25, \quad c=5.
Logo os focos são
\bigl(-1\pm c,\,2\bigr)=\bigl(-1\pm5,\,2\bigr),
isto é, (4,2) e (-6,2).

Passo 7

As assíntotas da hipérbole são as retas que passam pelo centro e têm coeficiente angular \pm b/a=\pm3/4. Assim:
y-2=\pm\frac{3}{4}(x+1).
No esboço, marcamos o centro em (-1,2), desenhamos os retângulos fundamentais de semi-eixos a=4 e b=3 e traçamos as assíntotas. A curva se aproxima dessas retas, abrindo-se horizontalmente.

Resposta

a) \displaystyle \frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.
b) Centro em \bigl(-1,2\bigr).
c) Vértices em (3,2) e (-5,2); focos em (4,2) e (-6,2).
d) Hipérbole com eixo transversal horizontal, centro (-1,2), assíntotas y-2=\pm\frac{3}{4}(x+1), abrindo-se para direita e esquerda.

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