Dada hipérbole de equação
, determine:
a) sua equação reduzida;
b) o centro;
c) os vértices e focos;
d) um esboço do gráfico.
a) sua equação reduzida;
b) o centro;
c) os vértices e focos;
d) um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede:
– (a) a forma reduzida;
– (b) o centro;
– (c) os vértices e os focos;
– (d) um esboço do gráfico.
O conteúdo principal é completar quadrados para obter a forma canônica de uma hipérbole e, a partir daí, identificar centro, vértices, focos e assíntotas.
– (a) a forma reduzida;
– (b) o centro;
– (c) os vértices e os focos;
– (d) um esboço do gráfico.
O conteúdo principal é completar quadrados para obter a forma canônica de uma hipérbole e, a partir daí, identificar centro, vértices, focos e assíntotas.
Passo 2
Agrupamos termos em
e
e completamos quadrados. Escrevemos
Extraímos os fatores:
Passo 3
Em cada grupo, completamos quadrado:
Substituindo:
Dividindo por
:
Passo 4
Da forma
vemos que o centro é
. Aqui
,
, logo
e
.
Passo 5
Como o termo positivo é em
, a hipérbole abre-se para a direita e para a esquerda. Os vértices são
isto é,
e
.
Passo 6
Para os focos, calculamos
pela relação
Logo os focos são
isto é,
e
.
Passo 7
As assíntotas da hipérbole são as retas que passam pelo centro e têm coeficiente angular
. Assim:
No esboço, marcamos o centro em
, desenhamos os retângulos fundamentais de semi-eixos
e
e traçamos as assíntotas. A curva se aproxima dessas retas, abrindo-se horizontalmente.
Resposta
a)
b) Centro em .
c) Vértices em e
; focos em
e
.
d) Hipérbole com eixo transversal horizontal, centro , assíntotas
, abrindo-se para direita e esquerda.
b) Centro em
c) Vértices em
d) Hipérbole com eixo transversal horizontal, centro