Para cada hipérbole determine os vértices ( A_{1} e A_{2} ), focos ( F_{1} e F_{2} ) e excentricidade.
9 x^{2}-4 y^{2}-18 x-16 y-43=0

Passo 1

O enunciado fornece a hipérbole dada por
9x^{2}-4y^{2}-18x-16y-43=0
e pede os vértices A_{1} e A_{2}, os focos F_{1} e F_{2} e a excentricidade e. Vamos completar quadrados para obter a forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Agrupamos x e y e completamos quadrados:
9(x^{2}-2x)-4(y^{2}+4y)-43=0.
Em x^{2}-2x adicionamos e subtraímos 1, e em y^{2}+4y adicionamos e subtraímos 4:
9\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)-4\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)-43=0.
Expandindo os termos constantes:
9(x-1)^{2}-9-4(y+2)^{2}+16-43=0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x-1)^{2}-4(y+2)^{2}-36=0.

Passo 3

Isolando em forma padrão e dividindo por 36, obtemos
\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{9}=1.
Dessa forma, o centro é (1,-2), a^{2}=4 a=2 no eixo x e b^{2}=9 b=3 no eixo y.

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo transverso horizontal, portanto
A_{1}=(1+2,\,-2)=(3,-2), \quad A_{2}=(1-2,\,-2)=(-1,-2).

Passo 5

Para os focos calculamos
c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+9=13, \quad c=\sqrt{13}, \quad e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Os focos são
F_{1}=(1+\sqrt{13},\,-2), \quad F_{2}=(1-\sqrt{13},\,-2).

Resposta

A_{1}=(3,-2) A_{2}=(-1,-2) F_{1}=(1+\sqrt{13},-2) F_{2}=(1-\sqrt{13},-2) e=\frac{\sqrt{13}}{2}

Exercícios relacionados