Dada a integral
, sabemos que essa integral determina o volume do sólido limitado superiormente pela função
e inferiormente pela região
. Porém se
, nossa integral será
, essa expressão determina a área da região
, visto que
é constante igual a 1.
Com base nessa informação, cálcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é constante igual a
, portanto a integral dupla mede a área da região do plano. - Os limites explicam a região
: varia de até e, para cada , varia de até . - A pergunta implícita é: qual é o valor numérico dessa integral (ou seja, qual é a área de
)?
Passo 2
Interpretação da região
. A desigualdade
implica
e ainda
. Assim
é o semicírculo (ou disco cortado ao meio) de raio
com
, isto é, a metade direita do círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Cálculo geométrico rápido. A área total de um círculo de raio
é
Como
é exatamente metade desse disco, a área de
é
Portanto a integral deve valer
.
Passo 4
Agora faço o mesmo cálculo por integração direta, para ver o procedimento algébrico que pode ser cobrado na prova. Primeiro calculo a integral interna em
:
Assim a integral dupla reduz-se a
Passo 5
Resolver
por substituição trigonométrica. Faço
Os limites mudam:
,
. Note que para
tem-se
, então
Substituindo na integral:
Usando a identidade
obtemos
Integrando:
pois
anula nos limites simétricos.
Passo 6
Confirmação: tanto pela interpretação geométrica quanto pelo cálculo trigonométrico a integral vale
. Bom trabalho! Isso é típico: quando o integrando é
, pensar na área da região e na simetria quase sempre simplifica muito.