Dada a integral \iint_{D} f(x, y) d A, sabemos que essa integral determina o volume do sólido limitado superiormente pela função f(x, y) e inferiormente pela região D. Porém se f(x, y)=1, nossa integral será
\iint_{D} d A
, essa expressão determina a área da região D, visto que f(x, y) é constante igual a 1.
Com base nessa informação, cálcule as integrais a seguir:
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} d x\, d y.
Informações dadas:
  • O integrando é constante igual a 1, portanto a integral dupla mede a área da região D do plano.
  • Os limites explicam a região D: y varia de -2 até 2 e, para cada y, x varia de 0 até \sqrt{4-y^{2}}.
  • A pergunta implícita é: qual é o valor numérico dessa integral (ou seja, qual é a área de D)?

Passo 2

Interpretação da região D. A desigualdade 0 \le x \le \sqrt{4-y^{2}} implica
x^{2} \le 4-y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le 4
e ainda x\ge 0. Assim D é o semicírculo (ou disco cortado ao meio) de raio 2 com x\ge 0, isto é, a metade direita do círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Cálculo geométrico rápido. A área total de um círculo de raio 2 é
\pi\cdot 2^{2}=4\pi.
Como D é exatamente metade desse disco, a área de D é
\frac{1}{2}\cdot 4\pi = 2\pi.
Portanto a integral deve valer 2\pi.

Passo 4

Agora faço o mesmo cálculo por integração direta, para ver o procedimento algébrico que pode ser cobrado na prova. Primeiro calculo a integral interna em x:
\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} d x = \bigl[x\bigr]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} = \sqrt{4-y^{2}}.
Assim a integral dupla reduz-se a
\int_{-2}^{2} \sqrt{4-y^{2}}\, d y.

Passo 5

Resolver \int_{-2}^{2} \sqrt{4-y^{2}}\, d y por substituição trigonométrica. Faço
y=2\sin\theta,\qquad dy=2\cos\theta\, d\theta.
Os limites mudam: y=-2\Rightarrow \theta=-\tfrac{\pi}{2}, y=2\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{2}. Note que para \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr] tem-se \cos\theta\ge 0, então
\sqrt{4-y^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=2\cos\theta.
Substituindo na integral:
\int_{-2}^{2} \sqrt{4-y^{2}}\, d y = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2\cos\theta)\cdot(2\cos\theta)\, d\theta = 4\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\, d\theta.
Usando a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2} obtemos
4\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\, d\theta = 4\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\, d\theta = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \bigl(1+\cos 2\theta\bigr)\, d\theta.
Integrando:
2\Bigl[\theta + \tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\bigl(\pi + 0\bigr) = 2\pi,
pois \sin(2\theta) anula nos limites simétricos.

Passo 6

Confirmação: tanto pela interpretação geométrica quanto pelo cálculo trigonométrico a integral vale 2\pi. Bom trabalho! Isso é típico: quando o integrando é 1, pensar na área da região e na simetria quase sempre simplifica muito.

Resposta

2\pi

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