Dada a integral \iint_{D} f(x, y) d A, sabemos que essa integral determina o volume do sólido limitado superiormente pela função f(x, y) e inferiormente pela região D. Porém se f(x, y)=1, nossa integral será
\iint_{D} d A
, essa expressão determina a área da região D, visto que f(x, y) é constante igual a 1.
Com base nessa informação, cálcule as integrais a seguir:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y^{2}} d x\, d y.
Informações dadas e o que se quer:
  • O integrando é a função constante \,1, então a integral dupla representa a área da região D no plano.
  • Os limites mostram que y varia de 0 até 2 e, para cada y fixo, x varia de 0 até y^{2}.
  • Logo a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\\\ 0\le x\le y^{2}\}.
O objetivo é calcular essa integral, ou seja, encontrar a área de D.

Passo 2

Entendendo geometricamente a região D:
  • A curva \,x=y^{2} é uma parábola abrindo para a direita. Para y entre 0 e 2, a parábola vai de x=0 (em y=0) até x=4 (em y=2).
  • As fronteiras de D são as retas y=0 e y=2, a reta x=0 (eixo y) e a curva x=y^{2}.
  • Visualmente, D é a “faixa” entre o eixo x=0 e a parábola x=y^{2}, com y indo de 0 a 2.

Passo 3

Avaliar a integral interna em x. Para uma função constante 1,
\int_{0}^{y^{2}} d x
é simplesmente o comprimento do intervalo em x (a diferença entre o limite superior e o inferior). Portanto,
\int_{0}^{y^{2}} d x = \bigl[x\bigr]_{0}^{y^{2}} = y^{2}-0 = y^{2}.
Comentário didático rápido: integrar 1 em relação a x x (a antiderivada de 1 é x), e ao avaliar entre os limites obtém-se a largura do intervalo.

Passo 4

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa e calculamos
\int_{0}^{2} y^{2}\, d y.
Aqui usamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int y^{n}\, d y = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=2, então a antiderivada é \dfrac{y^{3}}{3}. Para a integral definida:
\int_{0}^{2} y^{2}\, d y = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.

Passo 5

Avaliar a antiderivada nos limites:
\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{8}{3}-0 = \frac{8}{3}.
Portanto a integral vale \dfrac{8}{3}. Bom saber: isso também é a área da região D.

Passo 6

Verificação alternativa (trocar a ordem de integração) — só para reforçar a intuição:
  • Reescrevendo D como 0\le x\le 4 e, para cada x, \sqrt{x}\le y\le 2, obtemos
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2} d y\, d x.
  • Calculando,
\int_{0}^{4}\bigl(2-\sqrt{x}\bigr) d x = \left[2x-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{4} = 8-\frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{8}{3},
confirmando o mesmo resultado. Isso dá confiança de que o cálculo está correto.

Resposta

\dfrac{8}{3}

Exercícios relacionados