Dada a integral
, sabemos que essa integral determina o volume do sólido limitado superiormente pela função
e inferiormente pela região
. Porém se
, nossa integral será
, essa expressão determina a área da região
, visto que
é constante igual a 1.
Com base nessa informação, cálcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral iterada
Informações dadas e o que se quer:
- O integrando é a função constante
, então a integral dupla representa a área da região no plano. - Os limites mostram que
varia de até e, para cada fixo, varia de até . - Logo a região
é
O objetivo é calcular essa integral, ou seja, encontrar a área de
.
Passo 2
Entendendo geometricamente a região
:
- A curva
é uma parábola abrindo para a direita. Para entre e , a parábola vai de (em ) até (em ). - As fronteiras de
são as retas e , a reta (eixo ) e a curva . - Visualmente,
é a “faixa” entre o eixo e a parábola , com indo de a .
Passo 3
Avaliar a integral interna em
. Para uma função constante
,
é simplesmente o comprimento do intervalo em
(a diferença entre o limite superior e o inferior). Portanto,
Comentário didático rápido: integrar
em relação a
dá
(a antiderivada de
é
), e ao avaliar entre os limites obtém-se a largura do intervalo.
Passo 4
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa e calculamos
Aqui usamos a regra básica de integração de potências: para
,
No nosso caso
, então a antiderivada é
. Para a integral definida:
Passo 5
Avaliar a antiderivada nos limites:
Portanto a integral vale
. Bom saber: isso também é a área da região
.
Passo 6
Verificação alternativa (trocar a ordem de integração) — só para reforçar a intuição:
- Reescrevendo
como e, para cada , , obtemos
- Calculando,
confirmando o mesmo resultado. Isso dá confiança de que o cálculo está correto.