Dada a integral \iint_{D} f(x, y) d A, sabemos que essa integral determina o volume do sólido limitado superiormente pela função f(x, y) e inferiormente pela região D. Porém se f(x, y)=1, nossa integral será
\iint_{D} d A
, essa expressão determina a área da região D, visto que f(x, y) é constante igual a 1.
Com base nessa informação, cálcule as integrais a seguir:
\int_{1}^{5} \int_{0}^{x} d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{1}^{5}\int_{0}^{x} dy\,dx
e pede que a calculemos. Informação importante que já podemos notar: o integrando é 1 (porque não há função explícita multiplicando dy\,dx), então a integral dupla mede a área da região D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 5,\\\ 0\le y\le x\}. O que faremos é avaliar a integral interna em y e depois a externa em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y. Como o integrando é 1, vale a fórmula simples
\int_{0}^{x} 1\;dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{x} = x-0 = x.
Explicando devagar: integrar 1 em relação a y significa achar uma função cuja derivada em relação a y é 1; uma antiderivada é y. Avalia-se essa antiderivada nos limites y=0 e y=x e subtrai-se, dando x.

Passo 3

Substituir o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com
\int_{1}^{5} x\;dx.
Agora calculamos essa integral usando a antiderivada de x, que é \dfrac{x^{2}}{2}. Logo
\int_{1}^{5} x\;dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{5} = \dfrac{5^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2} = \dfrac{25-1}{2} = \dfrac{24}{2} = 12.

Passo 4

Interpretação geométrica — para fixar: a região D é o conjunto de pontos entre a reta y=x (acima) e o eixo y=0 (abaixo), para x variando de 1 a 5. Isso forma um trapézio com bases y(1)=1 e y(5)=5 e altura 5-1=4. A área do trapézio é
\frac{(1+5)}{2}\cdot 4 = 3\cdot 4 = 12,
confirmando o resultado anterior. Bom trabalho — lembra que, sempre que o integrando for 1, a integral dupla dá a área da região de integração!

Resposta

12

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