Dada a integral
, sabemos que essa integral determina o volume do sólido limitado superiormente pela função
e inferiormente pela região
. Porém se
, nossa integral será
, essa expressão determina a área da região
, visto que
é constante igual a 1.
Com base nessa informação, cálcule as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede que a calculemos. Informação importante que já podemos notar: o integrando é
(porque não há função explícita multiplicando
), então a integral dupla mede a área da região
. O que faremos é avaliar a integral interna em
e depois a externa em
.
Passo 2
Calcular a integral interna em
. Como o integrando é
, vale a fórmula simples
Explicando devagar: integrar
em relação a
significa achar uma função cuja derivada em relação a
é
; uma antiderivada é
. Avalia-se essa antiderivada nos limites
e
e subtrai-se, dando
.
Passo 3
Substituir o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com
Agora calculamos essa integral usando a antiderivada de
, que é
. Logo
Passo 4
Interpretação geométrica — para fixar: a região
é o conjunto de pontos entre a reta
(acima) e o eixo
(abaixo), para
variando de
a
. Isso forma um trapézio com bases
e
e altura
. A área do trapézio é
confirmando o resultado anterior. Bom trabalho — lembra que, sempre que o integrando for
, a integral dupla dá a área da região de integração!