Dada a Integral Tripla:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{6} \int_{0}^{3} d x . d y . d z
Resolva e assinale a alternativa que traz corretamente sua solução.
A 16
B 24
C 20
D 18
E 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{6}\int_{0}^{3} dx\,dy\,dz
e então assinalar a alternativa correta entre A 16, B 24, C 20, D 18 e E 0. As informações dadas são os limites de integração: x varia de 0 a 3, y varia de 0 a 6 e z varia de 0 a 1. O integrando está implícito como 1 (pois só aparecem dx\,dy\,dz).

Passo 2

Entendendo o que significa integrar a função constante 1: a integral
\int_{a}^{b} 1\,dx
é simplesmente o comprimento do intervalo [a,b], ou seja b-a. Isso acontece porque a área sob a reta y=1 entre x=a e x=b é um retângulo de altura 1 e base b-a. Logo,
\int_{a}^{b} 1\,dx = b-a.
No caso de integrais iteradas com integrando 1, podemos aplicar esse raciocínio sucessivamente.

Passo 3

Calcule a integral mais interna em x:
\int_{0}^{3} 1\,dx = 3-0 = 3.
Aqui usei a regra do passo anterior com a=0 e b=3.

Passo 4

Agora integramos em y o resultado do passo anterior. Como o valor 3 é constante em relação a y, podemos tirar fora da integral:
\int_{0}^{6} \left(\int_{0}^{3} 1\,dx\right) dy = \int_{0}^{6} 3\,dy = 3\int_{0}^{6} 1\,dy.
E sabemos que \int_{0}^{6} 1\,dy = 6-0 = 6. Portanto
\int_{0}^{6} 3\,dy = 3\cdot 6 = 18.

Passo 5

Finalmente integramos em z. O número 18 é constante em relação a z, então
\int_{0}^{1} 18\,dz = 18\int_{0}^{1} 1\,dz = 18\cdot(1-0)=18.

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação rápida: a integral tripla de 1 sobre um paralelepípedo é o volume desse paralelepípedo. As arestas têm comprimentos 3, 6 e 1, logo o volume é
3\cdot 6\cdot 1 = 18,
que confirma o cálculo feito por iterações.

Resposta

D

Exercícios relacionados