Dada a Integral Tripla:
Resolva e assinale a alternativa que traz corretamente sua solução.
A 16
B 24
C 20
D 18
E 0
Resolva e assinale a alternativa que traz corretamente sua solução.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
e então assinalar a alternativa correta entre
,
,
,
e
. As informações dadas são os limites de integração:
varia de
a
,
varia de
a
e
varia de
a
. O integrando está implícito como
(pois só aparecem
).
Passo 2
Entendendo o que significa integrar a função constante
: a integral
é simplesmente o comprimento do intervalo
, ou seja
. Isso acontece porque a área sob a reta
entre
e
é um retângulo de altura
e base
. Logo,
No caso de integrais iteradas com integrando
, podemos aplicar esse raciocínio sucessivamente.
Passo 3
Calcule a integral mais interna em
:
Aqui usei a regra do passo anterior com
e
.
Passo 4
Agora integramos em
o resultado do passo anterior. Como o valor
é constante em relação a
, podemos tirar fora da integral:
E sabemos que
. Portanto
Passo 5
Finalmente integramos em
. O número
é constante em relação a
, então
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação rápida: a integral tripla de
sobre um paralelepípedo é o volume desse paralelepípedo. As arestas têm comprimentos
,
e
, logo o volume é
que confirma o cálculo feito por iterações.
Resposta
D