Observe as Equações Diferenciais a seguir e assinale a alternativa que traz corretamente sua ordem (de derivação):
1- \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}+2 y=e^{x}
II- \frac{d y}{d x}-32 y=e^{x}
III- -3 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{5}-3 y=e^{x}
A I- EDO de primeira ordem; II- EDO de segunda ordem e III- EDO de terceira ordem.
B I- EDO de primeira ordem; II- EDO de terceira ordem e III- EDO de segunda ordem.
C I- EDO de segunda ordem; II- EDO de primeira ordem e III- EDO de terceira ordem.
D I- EDO de segunda ordem; II- EDO de terceira ordem e III- EDO de primeira ordem.
E I- EDO de terceira ordem; II- EDO de segunda ordem e III- EDO de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a ordem (ordem de derivação) de cada uma das três equações diferenciais e escolher a alternativa correta. As equações dadas são:
\text{I } \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}+2 y=e^{x}
\text{II } \frac{d y}{d x}-32 y=e^{x}
\text{III } -3 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{5}-3 y=e^{x}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as três equações acima (I, II, III). A tarefa é dizer, para cada uma, qual é a ordem da EDO e, então, selecionar a alternativa correta entre as opções A, B, C, D, E.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Vou explicar devagarinho: a ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Em outras palavras, olhamos todas as derivadas que aparecem ( y',y'',y^{(3)}, etc.) e a ordem é a maior potência de diferenciação presente.
Exemplos para fixar:
y' + y = 0
aqui aparece a derivada primeira y'=\frac{dy}{dx}, então a ordem é 1.
y'' + (y')^2 = 0
aqui a maior derivada presente é y''=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}, então a ordem é 2, mesmo que haja um termo (y')^2 — o expoente em (y')^2 não aumenta a ordem.

Passo 3

Observações importantes (armadilhas comuns):
  • Se aparecer um termo como \left(\frac{dy}{dx}\right)^5, isso é ainda derivada de primeira ordem (elevada a potência), então conta como ordem 1.
  • Se aparecer \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^2, a maior derivada presente é a de ordem 2, então a equação é de ordem 2.
  • Coeficientes constantes (como -3 multiplicando uma derivada) não alteram a ordem.
  • Mesmo que uma derivada apareça dentro de uma função complicada (por exemplo \sin(y''')), a ordem é a do maior índice de derivada presente (no exemplo, ordem 3).

Passo 4

Analisando a equação I:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}+2 y=e^{x}
Termos com derivadas presentes:
  • \frac{d^{2} y}{d x^{2}} (segunda derivada),
  • \left(\frac{d y}{d x}\right)^{3} (primeira derivada ao cubo).
    A maior derivada que aparece é a de segunda ordem \frac{d^{2}y}{dx^{2}}. Portanto a equação I é de ordem 2.

Passo 5

Analisando a equação II:
\frac{d y}{d x}-32 y=e^{x}
Termos com derivadas presentes:
  • \frac{d y}{d x} (primeira derivada).
    Não há derivadas de ordem superior. Logo a equação II é de ordem 1.

Passo 6

Analisando a equação III:
-3 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{5}-3 y=e^{x}
Termos com derivadas presentes:
  • \frac{d^{3} y}{d x^{3}} (terceira derivada),
  • \left(\frac{d y}{d x}\right)^{5} (primeira derivada elevada a uma potência).
    A maior derivada que aparece é a de terceira ordem \frac{d^{3}y}{dx^{3}}. Portanto a equação III é de ordem 3.

Passo 7

Resumo das ordens encontradas:
  • I: ordem 2.
  • II: ordem 1.
  • III: ordem 3.
A alternativa que corresponde a esse conjunto é a letra C.

Resposta

C

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