Usando o método adequado, resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e impõe as condições iniciais (vou interpretar o que está escrito como)
com
e
.
Informações relevantes:
é função de
que devemos encontrar; a equação é linear com coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é o polinômio
.
As duas condições iniciais são e
.
As duas condições iniciais são
Passo 2
Como a equação é linear com coeficientes constantes e o termo à direita é um polinômio, o método mais simples e adequado é o método dos coeficientes indeterminados: a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Vou explicar rapidamente o raciocínio do método:
- Primeiro achamos a solução da equação homogênea
usando a equação característica (é uma técnica padrão: substituir e resolver para ). - Depois escolhemos um “palpite” para uma solução particular
com a mesma família funcional do lado direito (aqui o lado direito é um polinômio de grau ). Porém, se algum termo do palpite pertence já à solução homogênea, devemos multiplicar o palpite por o número de vezes necessário para “descolar” (isso evita sobreposição). Depois determinamos os coeficientes do palpite substituindo na equação. - Finalmente usamos as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 3
Equação homogênea:
Substituindo
obtemos a equação característica
Resolvendo:
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
O lado direito é um polinômio de grau
(ou seja, da forma
). O palpite usual seria
. Porém note que
já contém constantes (termo
), isto é, a função constante pertence ao espaço das soluções homogêneas porque
é raiz da característica. Isso faz com que o termo constante do palpite (o
) colida com
. Para contornar isso multiplicamos o palpite por
(uma vez, pois a raiz
tem multiplicidade
). Assim um palpite adequado é um polinômio de grau
sem termo constante independente:
(Observação: poderíamos também escrever
.)
Passo 5
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação
:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Agrupamos termos em potências de
:
Assim igualamos coeficientes correspondentes:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Substituindo
:
Portanto uma escolha de solução particular é
Observação: qualquer termo constante na
poderia ser absorvido em
, por isso não colocamos termo constante em
.
Passo 6
A solução geral da equação completa é
Passo 7
Usamos as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Primeiro calcule
:
Então
Agora calcule
. Derivando a solução geral:
pois a derivada de
é
e a de
é
.
Agora
:
Pela condição
,
Resolva para
:
Usando (1):
Passo 8
Substituímos
e
na solução geral:
Esta é a solução do problema de valor inicial com
e
.