Usando o método adequado, resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=x-2, y(\theta) \neq 0, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-5y' = x-2
e impõe as condições iniciais (vou interpretar o que está escrito como) \;y(0)=\theta com \theta\neq 0 e \;y'(0)=2.
Informações relevantes:
\;y é função de x que devemos encontrar; a equação é linear com coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é o polinômio \;x-2.
As duas condições iniciais são \;y(0)=\theta e \;y'(0)=2.

Passo 2

Como a equação é linear com coeficientes constantes e o termo à direita é um polinômio, o método mais simples e adequado é o método dos coeficientes indeterminados: a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Vou explicar rapidamente o raciocínio do método:
  • Primeiro achamos a solução da equação homogênea \;y''-5y'=0 usando a equação característica (é uma técnica padrão: substituir y=e^{rx} e resolver para r).
  • Depois escolhemos um “palpite” para uma solução particular \;y_p com a mesma família funcional do lado direito (aqui o lado direito é um polinômio de grau 1). Porém, se algum termo do palpite pertence já à solução homogênea, devemos multiplicar o palpite por x o número de vezes necessário para “descolar” (isso evita sobreposição). Depois determinamos os coeficientes do palpite substituindo na equação.
  • Finalmente usamos as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 3

Equação homogênea:
y''-5y'=0.
Substituindo y=e^{rx} obtemos a equação característica
r^2-5r=0.
Resolvendo:
r(r-5)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=5.
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{0x}+C_2 e^{5x}=C_1 + C_2 e^{5x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y''-5y' = x-2.
O lado direito é um polinômio de grau 1 (ou seja, da forma ax+b). O palpite usual seria y_p=ax+b. Porém note que y_h já contém constantes (termo C_1), isto é, a função constante pertence ao espaço das soluções homogêneas porque r=0 é raiz da característica. Isso faz com que o termo constante do palpite (o b) colida com y_h. Para contornar isso multiplicamos o palpite por x (uma vez, pois a raiz r=0 tem multiplicidade 1). Assim um palpite adequado é um polinômio de grau 2 sem termo constante independente:
y_p(x)=A x^2 + B x.
(Observação: poderíamos também escrever y_p=x(ax+b)=a x^2 + b x.)

Passo 5

Calcule as derivadas de y_p:
y_p'(x)=2Ax + B,
y_p''(x)=2A.
Substituindo na equação y''-5y'=x-2:
2A - 5(2Ax + B) = x - 2.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
2A - 10Ax -5B = x - 2.
Agrupamos termos em potências de x:
(-10A)x + (2A -5B) = 1\cdot x + (-2).
Assim igualamos coeficientes correspondentes:
Coeficiente de x:
-10A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{10}.
Termo constante:
2A - 5B = -2.
Substituindo A:
2\left(-\frac{1}{10}\right) - 5B = -2
-\frac{1}{5} - 5B = -2
-5B = -2 + \frac{1}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{9}{5}
B = \frac{9}{25}.
Portanto uma escolha de solução particular é
y_p(x) = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{9}{25}x.
Observação: qualquer termo constante na y_p poderia ser absorvido em C_1, por isso não colocamos termo constante em y_p.

Passo 6

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{5x} -\frac{1}{10}x^2 + \frac{9}{25}x.

Passo 7

Usamos as condições iniciais \;y(0)=\theta e \;y'(0)=2 para determinar C_1 e C_2.
Primeiro calcule y(0):
y(0) = C_1 + C_2 e^{0} -\frac{1}{10}\cdot 0^2 + \frac{9}{25}\cdot 0 = C_1 + C_2.
Então
C_1 + C_2 = \theta. \qquad(1)
Agora calcule y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x) = 0 + 5 C_2 e^{5x} -\frac{1}{5}x + \frac{9}{25},
pois a derivada de -\tfrac{1}{10}x^2 é -\tfrac{1}{5}x e a de \tfrac{9}{25}x é \tfrac{9}{25}.
Agora y'(0):
y'(0) = 5C_2 + \left(-\frac{1}{5}\cdot 0\right) + \frac{9}{25} = 5C_2 + \frac{9}{25}.
Pela condição y'(0)=2,
5C_2 + \frac{9}{25} = 2.
Resolva para C_2:
5C_2 = 2 - \frac{9}{25} = \frac{50}{25} - \frac{9}{25} = \frac{41}{25},
C_2 = \frac{41}{125}.
Usando (1):
C_1 = \theta - C_2 = \theta - \frac{41}{125}.

Passo 8

Substituímos C_1 e C_2 na solução geral:
y(x) = \left(\theta - \frac{41}{125}\right) + \frac{41}{125}e^{5x} -\frac{1}{10}x^2 + \frac{9}{25}x.
Esta é a solução do problema de valor inicial com \;y(0)=\theta e \;y'(0)=2.

Resposta

y(x)=\theta-\frac{41}{125}+\frac{41}{125}e^{5x}-\frac{1}{10}x^{2}+\frac{9}{25}x

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