Dada A=\left[\begin{array}{rr}3 & -5 \\\\ -4 & 2\end{array}\right], determine a matriz B tal que A+B é a matriz nula de M_{2}(\mathbb{R}).
8. Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \quad e \quad C= \left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 1\end{array}\right]. Determine a matriz X em cada caso:
(a) X=2 A-3 B
(b) X+A=B-C^{T}-2 X
(c) X+B^{T}=3 A^{T}+\frac{1}{2} C

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede.
  • Primeira parte:
    • Foi dada a matriz A=\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix}.
    • Pede-se determinar uma matriz B tal que A+B seja a matriz nula de M_{2}(\mathbb{R}).
  • Segunda parte (questão 8):
    • Foram dadas as matrizes (vetores/matrizes coluna e linha) A=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1\end{pmatrix}.
    • Pede-se determinar a matriz X em cada caso:
      (a) \;X=2A-3B.
      (b) \;X+A=B-C^{T}-2X.
      (c) \;X+B^{T}=3A^{T}+\tfrac{1}{2}C.]

Passo 2

Conceito importante (muito usado aqui): a matriz nula é a matriz cujos elementos são todos zero. A operação soma de matrizes é feita termo a termo (entrada por entrada). A matriz B que satisfaz A+B=0 é chamada de inversa aditiva de A e é dada por B=-A. Isso significa que cada elemento de B é o negativo do correspondente elemento de A.
Vou aplicar esse conceito na primeira parte.

Passo 3

Calcular B=-A elemento a elemento:
A=\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -4 & 2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad B=-A=\begin{pmatrix}-3 & 5 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}.
Verificação rápida: somando termo a termo
A+B=\begin{pmatrix}3+(-3) & -5+5 \\[4pt] -4+4 & 2+(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é a matriz nula de M_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 4

Agora resolvo a questão 8. Relembro os dados (peguei estes vetores do enunciado):
A=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1\end{pmatrix}.
Também é útil lembrar que C^{T} é a transposta de C e, portanto, é um vetor coluna:
C^{T}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
E A^{T},B^{T} são vetores linha com as mesmas entradas de A,B, respectivamente.]

Passo 5

Queremos \;X=2A-3B.
Calculo 2A e 3B componente a componente:
2A=2\begin{pmatrix}5\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]-2\\[4pt]4\end{pmatrix}, \qquad 3B=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Agora subtrair termo a termo:
X=2A-3B=\begin{pmatrix}10-3\\[4pt]-2-6\\[4pt]4-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\\[4pt]-8\\[4pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 6

A equação é \;X+A=B-C^{T}-2X.
É uma equação matricial linear em X. Trato os termos com X como se fossem números: somo 2X em ambos os lados para agrupar as X:
X+2X + A = B - C^{T} \quad\Longrightarrow\quad 3X + A = B - C^{T}.
Agora subtraio A de ambos os lados:
3X = B - C^{T} - A.
Finalmente, multiplico por \tfrac{1}{3}:
X=\tfrac{1}{3}\bigl(B - C^{T} - A\bigr).
Agora calculo a direita explicitamente. Usando C^{T}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}:
B-C^{T}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Subtraindo A:
B-C^{T}-A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-5\\[4pt]4-(-1)\\[4pt]2-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Dividindo por 3:
X=\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-4\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{5}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

A equação é \;X+B^{T}=3A^{T}+\tfrac{1}{2}C.
Aqui todas as matrizes envolvidas são vetores linha (1×3), então X é 1×3. Isolo X:
X=3A^{T}+\tfrac{1}{2}C - B^{T}.
Calculo cada termo. Primeiro A^{T} e B^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}5 & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad B^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}.
Multiplico e escalo:
3A^{T}=\begin{pmatrix}15 & -3 & 6\end{pmatrix}, \qquad \tfrac{1}{2}C=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Somando 3A^{T}+\tfrac{1}{2}C:
3A^{T}+\tfrac{1}{2}C=\begin{pmatrix}15 & -4 & \tfrac{13}{2}\end{pmatrix}.
Subtraindo B^{T}:
X=\begin{pmatrix}15-1 & -4-2 & \tfrac{13}{2}-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}14 & -6 & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.

Resposta

B=\begin{pmatrix}-3 & 5 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}
\text{8(a)}\;X=\begin{pmatrix}7\\[4pt]-8\\[4pt]-5\end{pmatrix}
\text{8(b)}\;X=\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{5}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix}
\text{8\text{(c)}}\;X=\begin{pmatrix}14 & -6 & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}]

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