1. Dada f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=\operatorname{sen}(1 / x) /\left(1+2^{1 / x}\right), determine o conjunto dos números L tais que L=\lim f\left(x_{n}\right), com \lim x_{n}=0, x_{n} \neq 0.

Passo 1

O enunciado define
f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{\operatorname{sen}\bigl(1/x\bigr)}{1+2^{1/x}},
e pede o conjunto de todos os valores
L=\lim_{n\to\infty}f(x_n)
para sequências (x_n) tais que \lim_{n\to\infty}x_n=0 e x_n\neq0. O conteúdo envolve limites oscilatórios e análise de comportamentos quando 1/x\to\pm\infty.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t_n=\frac1{x_n}.
Assim, x_n\to0^+ equivale a t_n\to+\infty e x_n\to0^- equivale a t_n\to-\infty. Reescrevemos
f(x_n)=\frac{\operatorname{sen}(t_n)}{1+2^{\,t_n}}.

Passo 3

Analisamos o caso x_n\to0^+ (ou seja t_n\to+\infty). Como 2^{t_n}\to+\infty, temos
1+2^{t_n}\sim 2^{t_n}\quad\Longrightarrow\quad f(x_n)=\frac{\operatorname{sen}(t_n)}{1+2^{t_n}}\;\longrightarrow\;0.
Logo, qualquer limite por aproximação pela direita vale 0.

Passo 4

Analisamos o caso x_n\to0^- (ou seja t_n\to-\infty). Então 2^{t_n}\to0 e
1+2^{t_n}\;\longrightarrow\;1,
portanto
f(x_n)=\frac{\operatorname{sen}(t_n)}{1+2^{t_n}}\;\longrightarrow\;\operatorname{sen}(t_n).
Como a função \operatorname{sen} atinge todos os valores em [-1,1] infinitamente vezes quando t_n\to-\infty, seus pontos de acumulação são todo o intervalo [-1,1].

Passo 5

Combinando os dois casos, os limites possíveis de f(x_n) são
  • 0, obtido por x_n\to0^+,
  • qualquer valor em [-1,1], obtido por x_n\to0^- adequadamente escolhido.
    Note que 0 já está em [-1,1].

Resposta

O conjunto de todos os valores-limite L é [-1,1].

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