- Dada
, definida por
, determine o conjunto dos números
tais que
, com
.
Passo 1
O enunciado define
e pede o conjunto de todos os valores
para sequências
tais que
e
. O conteúdo envolve limites oscilatórios e análise de comportamentos quando
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
Assim,
equivale a
e
equivale a
. Reescrevemos
Passo 3
Analisamos o caso
(ou seja
). Como
, temos
Logo, qualquer limite por aproximação pela direita vale
.
Passo 4
Analisamos o caso
(ou seja
). Então
e
portanto
Como a função
atinge todos os valores em
infinitamente vezes quando
, seus pontos de acumulação são todo o intervalo
.
Passo 5
Combinando os dois casos, os limites possíveis de
são
-
, obtido por , - qualquer valor em
, obtido por adequadamente escolhido.
Note quejá está em .
Resposta
O conjunto de todos os valores-limite
é
.