(4.) Sejam
monótona e
. Se existir uma seqüência de pontos
e
então
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é monótona e que
(ponto de acumulação pela direita). Há uma sequência
com
,
e
. Queremos provar que
O que precisamos usar: definição de limite lateral, monotonicidade e propriedades de ínfimo (ou supremo) da imagem de
à direita de
.
Passo 2
Sem perda de generalidade suponha que
seja não decrescente (o caso não crescente é análogo trocando inf por sup). Defina
Mostramos primeiro que
De fato, seja
. Por definição de ínfimo existe
em
tal que
Agora, para qualquer
com
, a monotonicidade não decrescente implica
Isso mostra que para todo
existe
tal que
dá
. Logo
.
Passo 3
Pela hipótese há uma sequência
, com
e
, cujo limite de imagem é
Mas para todo
temos
, de modo que
. Por outro lado, como
é ínfimo da imagem à direita, qualquer valor abaixo de
não pode ser ponto de aderência, e portanto deve ocorrer
. Conclui-se que
Passo 4
Combinando os resultados dos passos anteriores, temos
logo