(4.) Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R} monótona e a \in X_{+}^{\prime}. Se existir uma seqüência de pontos x_{n} \in X \operatorname{com} x_{n}>a, \lim x_{n}=a e \lim f\left(x_{n}\right)=L então \lim _{x \rightarrow a+} f(x)=L.

Passo 1

O enunciado afirma que f\colon X\to\mathbb{R} é monótona e que a\in X_{+}' (ponto de acumulação pela direita). Há uma sequência (x_n)\subset X com x_n>a, \lim x_n=a e \lim f(x_n)=L. Queremos provar que
\lim_{x\to a+}f(x)=L.
O que precisamos usar: definição de limite lateral, monotonicidade e propriedades de ínfimo (ou supremo) da imagem de f à direita de a.

Passo 2

Sem perda de generalidade suponha que f seja não decrescente (o caso não crescente é análogo trocando inf por sup). Defina
m \;=\;\inf\bigl\{f(x)\mid x\in X,\;x>a\bigr\}.
Mostramos primeiro que
\lim_{x\to a+}f(x)=m.
De fato, seja \varepsilon>0. Por definição de ínfimo existe x_\varepsilon>a em X tal que
f(x_\varepsilon)-m<\varepsilon.
Agora, para qualquer x\in X com a<x<x_\varepsilon, a monotonicidade não decrescente implica
m\;\le\;f(x)\;\le\;f(x_\varepsilon) \quad\Longrightarrow\quad 0\le f(x)-m<\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta = x_\varepsilon - a>0 tal que a<x<a+\delta \lvert f(x)-m\rvert<\varepsilon. Logo \lim_{x\to a+}f(x)=m.

Passo 3

Pela hipótese há uma sequência (x_n)\subset X, com x_n>a e x_n\to a, cujo limite de imagem é
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L.
Mas para todo n temos f(x_n)\ge m, de modo que L\ge m. Por outro lado, como m é ínfimo da imagem à direita, qualquer valor abaixo de m não pode ser ponto de aderência, e portanto deve ocorrer L\le m. Conclui-se que
L=m.

Passo 4

Combinando os resultados dos passos anteriores, temos
\lim_{x\to a+}f(x)=m \quad\text{e}\quad m=L,
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\lim_{x\to a+}f(x)=L.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=L.

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