- Seja
um polinômio não constante, isto é, para todo
, com
e
. Prove que, se
é par então
se
e
se
. Se
é ímpar então
e
quando
e os sinais dos limites são trocados quando
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o comportamento de
quando
e
. O conteúdo que vamos usar é que, para polinômios, o termo de maior grau domina: mais precisamente,
A partir daí, basta estudar o sinal de
para concluir os limites de
.
Passo 2
Para
escrevemos
Como cada termo
tende a zero quando
, pelas propriedades de soma de limites obtemos
Passo 3
Sabendo que
e usando que
, temos
Agora só falta analisar
conforme a paridade de
.
Passo 4
Se
é par, então
para todo
, e, na verdade,
Logo
- Se
, então . - Se
, então .
Se
é ímpar, então
Dessa forma:
- Para
, diverge para se e para se . - Para
, diverge para se e para se .
Resposta
Se
Se (n] é ímpar: