1. Seja p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} um polinômio não constante, isto é, para todo x \in \mathbb{R}, p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}, com a_{n} \neq 0 e n \geq 1. Prove que, se n é par então \lim _{x \rightarrow+\infty} p(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} p(x)=+\infty se a_{n}>0 e =-\infty se a_{n}<0. Se n é ímpar então \lim _{x \rightarrow+\infty} p(x)=+\infty e \lim _{x \rightarrow-\infty} p(x)=-\infty quando a_{n}>0 e os sinais dos limites são trocados quando a_{n}<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o comportamento de
p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n},\quad a_{n}\neq 0,\;n\ge1,
quando x\to+\infty e x\to-\infty. O conteúdo que vamos usar é que, para polinômios, o termo de maior grau domina: mais precisamente,
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{x^{n}}=a_{n}.
A partir daí, basta estudar o sinal de x^{n} para concluir os limites de p(x).

Passo 2

Para x\neq 0 escrevemos
\frac{p(x)}{x^{n}} =\frac{a_{0}}{x^{n}}+\frac{a_{1}}{x^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{x}+a_{n}.
Como cada termo \frac{a_{k}}{x^{n-k}} tende a zero quando x\to\pm\infty, pelas propriedades de soma de limites obtemos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{x^{n}} =0+\cdots+0+a_{n} =a_{n}.

Passo 3

Sabendo que \frac{p(x)}{x^{n}}\to a_{n} e usando que p(x)=x^{n}\,\bigl(\tfrac{p(x)}{x^{n}}\bigr), temos
\lim_{x\to\pm\infty}p(x) =\Bigl(\lim_{x\to\pm\infty}x^{n}\Bigr)\! \Bigl(\lim_{x\to\pm\infty}\tfrac{p(x)}{x^{n}}\Bigr) =\bigl(\lim_{x\to\pm\infty}x^{n}\bigr)\,a_{n}.
Agora só falta analisar \lim_{x\to\pm\infty}x^{n} conforme a paridade de n.

Passo 4

Se n é par, então x^{n}\ge0 para todo x, e, na verdade,
\lim_{x\to+\infty}x^{n} =\lim_{x\to-\infty}x^{n} =+\infty.
Logo
  • Se a_{n}>0, então \lim_{x\to\pm\infty}p(x)=+\infty.
  • Se a_{n}<0, então \lim_{x\to\pm\infty}p(x)=-\infty.
Se n é ímpar, então
\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty, \quad \lim_{x\to-\infty}x^{n}=-\infty.
Dessa forma:
  • Para x\to+\infty, p(x)\sim a_{n}\,x^{n} diverge para +\infty se a_{n}>0 e para -\infty se a_{n}<0.
  • Para x\to-\infty, p(x)\sim a_{n}\,x^{n} diverge para -\infty se a_{n}>0 e para +\infty se a_{n}<0.

Resposta

Se n\) é par: \[\lim_{x\to+\infty}p(x)=\lim_{x\to-\infty}p(x) =\begin{cases} +\infty,&a_{n}>0,\\\\ -\infty,&a_{n}<0. \end{cases}
Se (n] é ímpar:
\lim_{x\to+\infty}p(x) =\begin{cases} +\infty,&a_{n}>0,\\\\ -\infty,&a_{n}<0, \end{cases} \qquad \lim_{x\to-\infty}p(x) =\begin{cases} -\infty,&a_{n}>0,\\\\ +\infty,&a_{n}<0. \end{cases}

Exercícios relacionados