Dada a matriz abaixo, marque a alternativa VERDADEIRA
a) O polinômio característico de A é (3-lambda)^2(-1-lambda)^2.
b) A não é diagonalizável.
c) O polinômio minimal de A é (3-lambda)(-1-lambda)^2.
d) O polinômio minimal de A é (3-lambda)(-1-lambda)
e pede para identificar qual das afirmações sobre o polinômio característico, o polinômio minimal e a diagonalizabilidade é verdadeira. Vamos usar que, em matriz triangular, os autovalores são as entradas da diagonal e que o polinômio minimal tem grau igual ao maior tamanho de bloco de Jordan para cada autovalor.
Passo 2
Como A é triangular, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal: 3,3,-1,-1. Logo o polinômio característico é
Para cada autovalor lambda a multiplicidade algébrica é 2. Para ver a multiplicidade geométrica, contamos a dimensão de ker(A-lambda I).
Para lambda=3, o bloco 2×2 é 3I sem elementos de Jordan, vem de 3&00&3, então a dimensão do espaço próprio é 2.
Para lambda=-1, o bloco 2×2 é -1&00&-1, também sem elementos de Jordan, logo a dimensão do espaço próprio é 2.
Passo 4
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, A possui 4 autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável. A afirmação “A não é diagonalizável” é falsa.
Passo 5
O polinômio minimal m(lambda) é o produto prod(lambda-lambdai)^si em que si é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a lambdai. Como não há blocos de tamanho maior que 1, cada si=1. Logo
m(lambda)=(lambda-3)(lambda+1)
Em termos das alternativas dadas, isso equivale a (3-lambda)(-1-lambda).
Passo 6
Comparando com as opções:
a) está correta quanto ao polinômio característico.
b) é falsa, pois A é diagonalizável.
c) está incorreta no expoente do fator -1-lambda.
d) está correta quanto ao polinômio minimal.
Resposta
d) O polinômio minimal de A é (3-lambda)(-1-lambda).