Seja a reta r determinada por A(2, -1, 3) e B(1,0, -2), e a reta s:
s:l x=3+t y=-2 t z=1+3 t , t in R
(A) Encontre as equações paramétricas de r e as equações reduzidas na variável x.
(B) Verifique se r e s são concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá a reta
Precisamos (A) escrever as equações paramétricas de , e (B) verificar se e têm ponto em comum (se são concorrentes).

Passo 2

Para obter a equação paramétrica de r, calculamos o vetor direção
vec u = AB = (1-2,;0-(-1),;-2-3) = (-1,,1,,-5)
Tomando parâmetro sinR e ponto inicial A(2,-1,3),
x = 2 - s, y = -1 + s, z = 3 - 5s

Passo 3

As equações reduzidas (forma simétrica em função de x) vêm de
x - x0ux ;=;y - y0uy;=;z - z0uz,
logo
x - 2-1 ;=;y + 11;=;z - 3-5

Passo 4

Para ver se r e s concorrem, igualamos
2 - s = 3 + t, -1 + s = -2t, 3 - 5s = 1 + 3t
Das duas primeiras equações:\
(1) 2 - s = 3 + timplies s + t = -1
(2) -1 + s = -2timplies s + 2t = 1.
Subtraindo (2) - (1) dá t=2 e então s=-3. Mas na terceira:
3 - 5(-3) = 3 + 15 = 18 e 1 + 3cdot2 = 7,
como 18neq7, não há solução comum. Logo r e s não se intersectam.

Resposta

(A) As equações paramétricas de
e suas equações reduzidas na variável (x] são

(B) As retas não têm ponto em comum, logo não são concorrentes.

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