Sobre a transformação linear
, marque a alternativa FALSA.
a)
e
.
b)
é uma base de
e
.
c)
es injetiva e
.
d) Té um isomorfismo, em que
e
a)
b)
c)
d) Té um isomorfismo, em que
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e apresenta quatro afirmações sobre
, , injetividade e bases. Vamos calcular
e para checar cada alternativa.
Passo 2
Para encontrar
isto é, o sistema
Das duas últimas equações segue , e substituindo em
dá
. Logo
. Portanto
e
é injetiva.
Passo 3
Para basta ver as imagens dos vetores canônicos:
Esses dois vetores são linearmente independentes em
, logo
Passo 4
Agora avaliamos cada alternativa:
(a) Afirma
(verdadeiro) e . Mas nem
pertence a . Logo (a) é falsa.
(b) Afirma que
é base de (impossível, pois ) e que
(mas na verdade
é só
). Logo (b) é falsa.
(c) Afirma que
é injetiva (verdadeiro) e (verdadeiro). Logo (c) é verdadeira.
(d) Afirma que
é um isomorfismo
(impossível, pois não é sobrejetiva em
) e que (tampouco bate com nosso cálculo). Logo (d) é falsa.
Resposta
As alternativas falsas são (a), (b) e (d).