Sobre a transformação linear T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x+y, 2 x-y,-2 x+y), marque a alternativa FALSA.
a) dim N(T)=0 e Im(T)=[(1,1,1),(1,1,0)].
b) beta=(1,1,-2) é uma base de Im(T) e N(T)=[(0,1)].
c) T es injetiva e dim Im(T)=2.
d) Té um isomorfismo, em que N(T)=(0,0) e Im(T)=[(1,2,0),(1,1,1)]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
e apresenta quatro afirmações sobre , , injetividade e bases. Vamos calcular e para checar cada alternativa.

Passo 2

Para encontrar
isto é, o sistema
Das duas últimas equações segue , e substituindo em . Logo . Portanto
e é injetiva.

Passo 3

Para basta ver as imagens dos vetores canônicos:
Esses dois vetores são linearmente independentes em , logo

Passo 4

Agora avaliamos cada alternativa:
(a) Afirma (verdadeiro) e . Mas nem pertence a . Logo (a) é falsa.
(b) Afirma que é base de (impossível, pois ) e que (mas na verdade é só ). Logo (b) é falsa.
(c) Afirma que é injetiva (verdadeiro) e (verdadeiro). Logo (c) é verdadeira.
(d) Afirma que é um isomorfismo (impossível, pois não é sobrejetiva em ) e que (tampouco bate com nosso cálculo). Logo (d) é falsa.

Resposta

As alternativas falsas são (a), (b) e (d).

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