Dada a matriz
C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 5 \\\\ 3 & 6 \end{array}\right]
calcule C^{T} C e C C^{T}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 5 \\\\ 3 & 6 \end{array}\right]
e pede para calcular \,C^{T}C e CC^{T}.

Passo 2

Definição útil: a transposta de uma matriz é obtida trocando linhas por colunas. Portanto a transposta C^{T} é a matriz cujas linhas são as colunas de C. Calculando:
C^{T}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]

Passo 3

Verificação de dimensões e regra de multiplicação:
  • A matriz C é de dimensão 3\times2.
  • A matriz C^{T} é de dimensão 2\times3.
    Logo:
  • C^{T}C é compatível e terá dimensão 2\times2.
  • CC^{T} é compatível e terá dimensão 3\times3.
Regra para produto de matrizes: se A é m\times p e B é p\times n, então (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}A_{ik}B_{kj}, ou seja, cada elemento é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B.

Passo 4

Calcular C^{T}C. Vou usar a fórmula elemento a elemento e mostrar cada produto escalar.
Escrevendo as matrizes:
C^{T}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 5 \\\\ 3 & 6 \end{array}\right]
Elemento (1,1):
(C^{T}C)_{11}=1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3=1+4+9=14.
Elemento (1,2):
(C^{T}C)_{12}=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=4+10+18=32.
Elemento (2,1):
(C^{T}C)_{21}=4\cdot1+5\cdot2+6\cdot3=4+10+18=32.
Elemento (2,2):
(C^{T}C)_{22}=4\cdot4+5\cdot5+6\cdot6=16+25+36=77.
Portanto
C^{T}C=\left[\begin{array}{ll} 14 & 32 \\\\ 32 & 77 \end{array}\right].

Passo 5

Calcular CC^{T}. Novamente aplico produto escalar linha por coluna.
Escrevendo as matrizes:
C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 5 \\\\ 3 & 6 \end{array}\right],\qquad C^{T}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]
Cálculo linha a linha:
Linha 1 de C é [1\;4].
(CC^{T})_{11}=1\cdot1+4\cdot4=1+16=17,
(CC^{T})_{12}=1\cdot2+4\cdot5=2+20=22,
(CC^{T})_{13}=1\cdot3+4\cdot6=3+24=27.
Linha 2 de C é [2\;5].
(CC^{T})_{21}=2\cdot1+5\cdot4=2+20=22,
(CC^{T})_{22}=2\cdot2+5\cdot5=4+25=29,
(CC^{T})_{23}=2\cdot3+5\cdot6=6+30=36.
Linha 3 de C é [3\;6].
(CC^{T})_{31}=3\cdot1+6\cdot4=3+24=27,
(CC^{T})_{32}=3\cdot2+6\cdot5=6+30=36,
(CC^{T})_{33}=3\cdot3+6\cdot6=9+36=45.
Portanto
CC^{T}=\left[\begin{array}{ccc} 17 & 22 & 27 \\\\ 22 & 29 & 36 \\\\ 27 & 36 & 45 \end{array}\right].

Passo 6

Observações finais rápidas e motivação para a prova: ambas as matrizes C^{T}C e CC^{T} são simétricas, como se vê pelos cálculos ( (C^{T}C)_{12}=(C^{T}C)_{21} e (CC^{T})_{ij}=(CC^{T})_{ji}). Essas propriedades aparecem sempre quando multiplicamos uma matriz por sua transposta — é um ponto que costuma cair em provas.

Resposta

C^{T}C=\left[\begin{array}{ll} 14 & 32 \\\\ 32 & 77 \end{array}\right]
CC^{T}=\left[\begin{array}{ccc} 17 & 22 & 27 \\ 22 & 29 & 36 \\ 27 & 36 & 45 \end{array}\right]

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