Definição útil: a transposta de uma matriz é obtida trocando linhas por colunas. Portanto a transposta C^{T} é a matriz cujas linhas são as colunas de C. Calculando:
Verificação de dimensões e regra de multiplicação:
A matriz C é de dimensão 3\times2.
A matriz C^{T} é de dimensão 2\times3.
Logo:
C^{T}C é compatível e terá dimensão 2\times2.
CC^{T} é compatível e terá dimensão 3\times3.
Regra para produto de matrizes: se A é m\times p e B é p\times n, então (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}A_{ik}B_{kj}, ou seja, cada elemento é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B.
Passo 4
Calcular C^{T}C. Vou usar a fórmula elemento a elemento e mostrar cada produto escalar.
Observações finais rápidas e motivação para a prova: ambas as matrizes C^{T}C e CC^{T} são simétricas, como se vê pelos cálculos ((C^{T}C)_{12}=(C^{T}C)_{21} e (CC^{T})_{ij}=(CC^{T})_{ji}). Essas propriedades aparecem sempre quando multiplicamos uma matriz por sua transposta — é um ponto que costuma cair em provas.