O enunciado dá um sistema linear homogêneo com três incógnitas [x,y,z). O que é pedido é o conjunto solução do sistema, ou seja, todos os vetores (x,y,z) que satisfazem as três equações simultaneamente.
É um sistema homogêneo (todos os termos do lado direito são 0\]).
- Existem três equações e três incógnitas \(x,y,z.
- A tarefa: determinar o conjunto de todas as soluções (x,y,z).]
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática curta e amigável):
Vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) porque é um procedimento direto para achar as incógnitas e mostrar se existem graus de liberdade (variáveis livres). Esse método transforma o sistema numa forma em que as incógnitas aparecem de maneira sequencial, facilitando a resolução por substituição.
Lembrete prático: como o sistema é homogêneo, a solução trivial (0,0,0) sempre satisfaz o sistema; o objetivo é ver se existem soluções não-triviais também.
Passo 3
Escrever a matriz de coeficientes (a parte aumentada tem coluna de zeros, que não muda o processo). A matriz dos coeficientes é
Interpretando a matriz triangular superior como sistema de equações (fazendo a ligação com as linhas originais):
A terceira linha corresponde à equação \;2z=0\;.
A segunda linha corresponde à equação \;5y-5z=0\;.
A primeira linha corresponde à equação \;x-2y+3z=0\;.
Agora resolvemos de baixo para cima (substituição para encontrar z, depois y, depois x).
Passo 8
Resolver as equações obtidas:
Da terceira linha: \;2z=0\;\Rightarrow\; z=0.
Substituindo z=0 na segunda linha: \;5y-5\cdot 0=0\;\Rightarrow\;5y=0\;\Rightarrow\;y=0.
Substituindo y=0 e z=0 na primeira linha: \;x-2\cdot0+3\cdot0=0\;\Rightarrow\;x=0.
Assim chegamos aos valores x=0,\;y=0,\;z=0.
Passo 9
Interpretação linear e verificação rápida (no bom estilo de prova): a matriz de coeficientes A tem posto 3 (obtivemos três pivôs não nulos nas colunas 1,2,3), logo a transformação linear associada é injetora e o núcleo contém apenas o vetor zero. Outra verificação rápida é o determinante: calculando