Determine o conjunto solução do sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y+z=0 \\\\ 3 x+y+4 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo com três incógnitas [x,y,z). O que é pedido é o conjunto solução do sistema, ou seja, todos os vetores (x,y,z) que satisfazem as três equações simultaneamente.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+y+z=0,\\[4pt] 3x+y+4z=0. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • É um sistema homogêneo (todos os termos do lado direito são 0\]). - Existem três equações e três incógnitas \(x,y,z.
    - A tarefa: determinar o conjunto de todas as soluções (x,y,z).]

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática curta e amigável):
  • Vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) porque é um procedimento direto para achar as incógnitas e mostrar se existem graus de liberdade (variáveis livres). Esse método transforma o sistema numa forma em que as incógnitas aparecem de maneira sequencial, facilitando a resolução por substituição.
  • Lembrete prático: como o sistema é homogêneo, a solução trivial (0,0,0) sempre satisfaz o sistema; o objetivo é ver se existem soluções não-triviais também.

Passo 3

Escrever a matriz de coeficientes (a parte aumentada tem coluna de zeros, que não muda o processo). A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Vamos aplicar operações elementares nas linhas de A para obter uma forma triangular superior.]

Passo 4

Primeira operação: zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (pivô inicial é 1 na posição (1,1)).
Faça R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
  • Primeira coluna: 2-2\cdot1=0.
  • Segunda coluna: 1-2\cdot(-2)=1+4=5.
  • Terceira coluna: 1-2\cdot3=1-6=-5.
Portanto a nova segunda linha é (0,5,-5).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -5\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Segunda operação para a primeira coluna: faça R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Cálculo elemento a elemento:
  • Primeira coluna: 3-3\cdot1=0.
  • Segunda coluna: 1-3\cdot(-2)=1+6=7.
  • Terceira coluna: 4-3\cdot3=4-9=-5.
A nova terceira linha é (0,7,-5).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -5\\[4pt] 0 & 7 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora usamos o pivô da segunda linha (entrada 5 em posição (2,2)) para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2. Faça
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{7}{5}R_2.
Calculos: a segunda entrada fica 7-\frac{7}{5}\cdot5=7-7=0. A terceira entrada fica
-5 - \frac{7}{5}\cdot(-5) = -5 + 7 = 2.
Assim a terceira linha transforma-se em (0,0,2).
A matriz triangular superior é então
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretando a matriz triangular superior como sistema de equações (fazendo a ligação com as linhas originais):
  • A terceira linha corresponde à equação \;2z=0\;.
  • A segunda linha corresponde à equação \;5y-5z=0\;.
  • A primeira linha corresponde à equação \;x-2y+3z=0\;.
Agora resolvemos de baixo para cima (substituição para encontrar z, depois y, depois x).

Passo 8

Resolver as equações obtidas:
  • Da terceira linha: \;2z=0\;\Rightarrow\; z=0.
  • Substituindo z=0 na segunda linha: \;5y-5\cdot 0=0\;\Rightarrow\;5y=0\;\Rightarrow\;y=0.
  • Substituindo y=0 e z=0 na primeira linha: \;x-2\cdot0+3\cdot0=0\;\Rightarrow\;x=0.
Assim chegamos aos valores x=0,\;y=0,\;z=0.

Passo 9

Interpretação linear e verificação rápida (no bom estilo de prova): a matriz de coeficientes A tem posto 3 (obtivemos três pivôs não nulos nas colunas 1,2,3), logo a transformação linear associada é injetora e o núcleo contém apenas o vetor zero. Outra verificação rápida é o determinante: calculando
\det(A)=1\cdot(1\cdot4-1\cdot1)-(-2)\cdot(2\cdot4-1\cdot3)+3\cdot(2\cdot1-1\cdot3)=3+10-3=10\neq0,
o que confirma que A é invertível e, portanto, o sistema homogêneo só tem a solução trivial.

Resposta

\{(0,0,0)\}

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