Encontre uma matriz A tal que A^{2}=I mas A \neq \pm I.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma matriz A tal que A^{2}=I mas A \neq \pm I.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • I é a matriz identidade (do mesmo tamanho de A).
  • A condição A^{2}=I significa que ao multiplicar A por si mesma obtemos a identidade.
  • A restrição A\neq \pm I significa que A não pode ser nem a identidade I nem a matriz -I.
    Nenhuma outra informação foi dada (por exemplo, dimensão de A); portanto podemos escolher uma dimensão conveniente (a menor prática é 2\times2).

Passo 2

Idéia prática e exemplo direto: trabalhar com uma matriz 2\times2 simples. Considere a matriz que troca as coordenadas:
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora vamos verificar passo a passo que A^{2}=I.
Multiplicamos A por A. Lembre que a multiplicação de matrizes é definida por (AB)_{ij}=\sum_{k}A_{ik}B_{kj}. Aqui,
A^{2} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
  • Entrada (1,1): 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
  • Entrada (1,2): 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0.
  • Entrada (2,1): 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Entrada (2,2): 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Agora verificar A\neq \pm I. Compare A com I e com -I:
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad - I=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
A matriz A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} tem entradas 0 e 1 fora da diagonal, então claramente A\neq I e A\neq -I. Assim A satisfaz todas as condições do enunciado.]

Passo 3

Explicação didática do porquê essa construção funciona (o que aprender para aplicar na prova).
Definição: uma matriz A com A^{2}=I é chamada involutória (ou involução). Propriedades úteis que ajudam a construir exemplos:
  • Os autovalores de uma involução A são só 1 ou -1. Isso decorre de se \lambda ser autovalor de A com autovetor v\neq 0, então A^2 v=\lambda^2 v = v, logo \lambda^2=1 e \lambda=\pm 1.
  • Se A for diagonalizável, então A=PDP^{-1} com D diagonal cujas entradas são apenas 1 ou -1. Para que A\neq\pm I basta que no diagonal de D haja pelo menos um 1 e pelo menos um -1.
  • Uma construção prática e muito usada: seja P uma projeção, isto é, P^{2}=P. Então a matriz
A=2P-I
satisfaz
A^{2}=(2P-I)^{2}=4P^{2}-4P+I=4P-4P+I=I,
pois P^{2}=P. Assim A é uma involução. Para que A\neq\pm I basta que P\neq 0 e P\neq I. Exemplo: para P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} obtemos
A=2P-I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
que também satisfaz A^{2}=I e não é \pm I.
Resumo de maneiras de construir exemplos na prova:
  • Escolher A diagonal com entradas apenas 1 e -1 e misturá-las (por exemplo \operatorname{diag}(1,-1)).
  • Escolher uma reflexão/permutação simples (por exemplo a matriz que troca coordenadas).
  • Usar A=2P-I com P projeção não trivial.]

Passo 4

Mais intuição e verificação rápida:
  • Para A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} tem-se imediatamente A^{2}=I porque \begin{pmatrix}1^2 & 0\\[4pt] 0 & (-1)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Para A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} podemos ver geometricamente que é a reflexão/permutação das coordenadas; aplicar duas vezes retorna ao original, por isso A^{2}=I.
Encerrando: existem infinitas matrizes com A^{2}=I e A\neq\pm I; dei exemplos concretos e uma maneira geral de construir (via projeção) que você pode usar rapidamente na prova.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}]

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