Encontre uma matriz
tal que
mas
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma matriz
tal que
mas
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é a matriz identidade (do mesmo tamanho de ). - A condição
significa que ao multiplicar por si mesma obtemos a identidade. - A restrição
significa que não pode ser nem a identidade nem a matriz .
Nenhuma outra informação foi dada (por exemplo, dimensão de); portanto podemos escolher uma dimensão conveniente (a menor prática é ).
Passo 2
Idéia prática e exemplo direto: trabalhar com uma matriz
simples. Considere a matriz que troca as coordenadas:
Agora vamos verificar passo a passo que
.
Multiplicamos
por
. Lembre que a multiplicação de matrizes é definida por
. Aqui,
Calcule cada entrada:
- Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: .
Portanto
Agora verificar
. Compare
com
e com
:
A matriz
tem entradas
e
fora da diagonal, então claramente
e
. Assim
satisfaz todas as condições do enunciado.]
Passo 3
Explicação didática do porquê essa construção funciona (o que aprender para aplicar na prova).
Definição: uma matriz
com
é chamada involutória (ou involução). Propriedades úteis que ajudam a construir exemplos:
- Os autovalores de uma involução
são só ou . Isso decorre de se ser autovalor de com autovetor , então , logo e . - Se
for diagonalizável, então com diagonal cujas entradas são apenas ou . Para que basta que no diagonal de haja pelo menos um e pelo menos um . - Uma construção prática e muito usada: seja
uma projeção, isto é, . Então a matriz
satisfaz
pois
. Assim
é uma involução. Para que
basta que
e
. Exemplo: para
obtemos
que também satisfaz
e não é
.
Resumo de maneiras de construir exemplos na prova:
- Escolher
diagonal com entradas apenas e e misturá-las (por exemplo ). - Escolher uma reflexão/permutação simples (por exemplo a matriz que troca coordenadas).
- Usar
com projeção não trivial.]
Passo 4
Mais intuição e verificação rápida:
- Para
tem-se imediatamente porque . - Para
podemos ver geometricamente que é a reflexão/permutação das coordenadas; aplicar duas vezes retorna ao original, por isso .
Encerrando: existem infinitas matrizes com
e
; dei exemplos concretos e uma maneira geral de construir (via projeção) que você pode usar rapidamente na prova.]