Dada a matriz
A=(cccc 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 ),
determine:
(a) det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A.
(b) det(A^T)
(c) det(A^2)
(d) A^-1
(e) det(-A)
(f) det(3 A A^T)
13. Seja A in Mn(R), mostre que ao multiplicarmos A por uma constante k in R, o determinande de A fica multiplicado pela constante elevada à ordem da matriz, ou seja, det(k cdot A)=k^n cdot det A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
em M4(R) e pede:
(a) det A via operações elementares de linha;
(b) det(A^T);
(c) det(A^2);
(d) A^-1;
(e) det(-A);
(f) det(3,A,A^T);
além de (13) provar que det(kA)=k^ndet A.
Para isso vamos usar:
  • A eliminação de Gauss para obter matriz triangular e ler o determinante como produto dos pivôs.
  • As propriedades det(A^T)=det A, det(AB)=det Adet B e det(kA)=k^ndet A.
  • O método de Gauss–Jordan para encontrar A^-1.

Passo 2

Calcular det A reduzindo A a uma matriz triangular superior sem trocar linhas nem multiplicar linhas por escalar:
1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 ;xrightarrowR2+R1,;R3-6R1,;R4-5R1; 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
xrightarrowR3+tfrac237R2,;R4+tfrac227R2 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -tfrac67 & 4 0 & 0 & -tfrac317 & 11 ;xrightarrowR4-tfrac316R3; 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -tfrac67 & 4 0 & 0 & 0 & -tfrac293
Como não houve troca de linhas e nem multiplicação por escalar,
det A =1cdot7cdotl(-tfrac67r)cdotl(-tfrac293r) =;-6cdotl(-tfrac293r) =tfrac1743 =58

Passo 3

Usando propriedades padrão dos determinantes:
det(A^T)=det A=58, det(A^2)=det(A),det(A)=58^2=3364

Passo 4

Para encontrar A^-1, montamos l[Amid I4r] e aplicamos Gauss–Jordan, obtendo no final
A^-1=158 50 & -64 & -26 & 20 14 & -4 & 2 & -6 -157& 165 & 77 & -28 -73 & 83 & 31 & -6

Passo 5

Mais propriedades:
det(-A)=(-1)^4,det A=1cdot58=58,
det(3,A,A^T) =det(3I4),det(A),det(A^T) =3^4cdot58cdot58 =81cdot3364 =272484

Passo 6

Prova geral de det(kA)=k^ndet A:
Cada multiplicação de uma linha de A por k multiplica o determinante por k. Como kA é obtida multiplicando todas as n linhas de A por k, conclui-se
det(kA)=k^ndet A

Resposta

(a) 58
(b) 58
(c) 3364
(d) A^-1=158 50 & -64 & -26 & 20 14 & -4 & 2 & -6 -157& 165 & 77 & -28 -73 & 83 & 31 & -6
(e) 58
(f) 272484
13. det(kA)=k^ndet A.

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