Encontre a dimensão e uma base do conjunto solução W de cada um dos sistemas homogêneos seguintes.
2 x+y+z=0
5 x+y+4 z=0
3 x-y-4 z=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço solução
Aqui vamos usar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity):
onde .

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & 1 & 1 5 & 1 & 4 3 & -1 & -4
e calculamos seu determinante para ver se rank(A)=3:
det(A) =2l(1cdot(-4)-4cdot(-1)r) -1l(5cdot(-4)-4cdot3r) +1l(5cdot(-1)-1cdot3r)

Passo 3

Calculando cada termo:
2,( -4 +4 ) ;-;1,( -20 -12 );+;1,( -5 -3 ) =2cdot0 ;-;1cdot(-32);+;1cdot(-8) =0 +32 -8 =24neq0
Logo rank(A)=3.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão,
dim W = 3 - 3 = 0
Isso significa que o único vetor em W é o vetor nulo, ou seja, W=(0,0,0). Como não há vetores não triviais, uma base de W é o conjunto vazio.

Resposta

dim W = 0
Uma base para W é o conjunto vazio, emptyset.

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