Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha uma única solução, infinitas soluções e não tenha soluções:
Passo 1
O enunciado dá o sistema
k x + y + z = 1, x + k y + z = 1, x + y + k z = 1,
e pede os valores de kinR para os quais o sistema tem (i) única solução, (ii) infinitas soluções e (iii) nenhuma solução. Vamos usar teoria de sistemas lineares: montar a matriz dos coeficientes A, calcular seu determinante para verificar quando ele é não nulo (caso de solução única) e analisar consistência quando det(A)=0.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
Calculamos seu determinante por desenvolvimento ou usando fatoração conhecida:
det(A) = k^3 - 3k + 2 = (k-1)^2,(k+2)
Logo det(A)neq0 se, e somente se, kneq1 e kneq -2. Nesses valores o sistema tem única solução.
Passo 3
Para k=1 temos
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ,
de posto 1, e o vetor de termos independentes (1,1,1) também gera posto 1. Como posto da ampliada = posto de A < número de incógnitas (3), o sistema é compatível indeterminado, isto é, tem infinitas soluções.
Passo 4
Para k=-2 notamos que cada linha de A soma zero:
(-2)+1+1=0,1+(-2)+1=0,1+1+(-2)=0,
logo A é singular e de posto <=2. Somando as três equações do sistema obtemos
0cdot x+0cdot y+0cdot z = 3,
que é contraditório. Portanto a matriz ampliada tem posto maior que o de A e o sistema é incompatível (sem soluções).
Resposta
Única solução: kneq1 e kneq -2.
Infinitas soluções: k=1.
Nenhuma solução: k=-2.