Dada a matriz
A=(cccc 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 )
determine:
det(A^T)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A:
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(A^T). Vamos usar a propriedade de que a transposição não altera o determinante e, em seguida, calcular det(A) por expansão de Laplace.

Passo 2

Pelo teorema de propriedades de determinante, temos
det(A^T) = det(A)
Portanto basta encontrar det(A).

Passo 3

Para calcular det(A) usamos expansão de Laplace ao longo da primeira coluna. Escrevendo
det(A) = 1cdotdet(M11) -(-1)cdotdet(M21) +6cdotdet(M31) -5cdotdet(M41),
onde cada Mi1 é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna 1.

Passo 4

Os menores são:
M11= 2 & -2 & 4 7 & 3 & -1 3 & 0 & 4 , M21= 5 & -1 & 3 7 & 3 & -1 3 & 0 & 4 ,
M31= 5 & -1 & 3 2 & -2 & 4 3 & 0 & 4 , M41= 5 & -1 & 3 2 & -2 & 4 7 & 3 & -1
Calculando:
det(M11)=50, det(M21)=64

Passo 5

Continuando os cálculos dos outros menores:
det(M31)=-26, det(M41)=-20

Passo 6

Substituindo na expansão de Laplace:
det(A) = 1cdot50 +1cdot64 +6cdot(-26) -5cdot(-20) =50 +64 -156 +100 =58

Resposta

det(A^T)=58

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