Dada a matriz
A=(cccc 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 )
determine:
det(A^2)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(A^2).
O conteúdo aqui é usar a propriedade de determinante de produto de matrizes, ou seja
det(AB)=det(A)det(B), de onde virá
det(A^2)=det(A)det(A).
Para isso precisamos primeiro calcular det(A).

Passo 2

Vamos calcular det(A) usando operações de linha para triangularizar a matriz pelo primeiro pivô a11=1:
  1. R2 R2 + R1
  2. R3 R3 - 6,R1
  3. R4 R4 - 5,R1
Isso não altera o determinante. Após essas operações, a matriz fica
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
O determinante de A é então
det(A) =;1;times det 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11
Chamando essa matriz de B, usamos expansão pela primeira linha para obter
det(B) =79 & -195 & -11 -(-3)-23 & -19-22 & -11 +7-23 & 9-22 & 5
Calculando cada minor:
9 & -195 & -11 =9cdot(-11)-(-19)cdot5=-4,
-23 & -19-22 & -11 =(-23)(-11)-(-19)(-22)=-165,
-23 & 9-22 & 5 =(-23)cdot5-9cdot(-22)=83
Logo
det(B)=7cdot(-4)-(-3)cdot(-165)+7cdot83 =-28-495+581=58
Portanto
det(A)=1cdot58=58

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de determinantes para produto:
det(A^2)=det(A)det(A)=(det(A))^2=58^2=3364

Resposta

det(A^2)=3364

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