Dada a matriz
A=(cccc 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 )
determine:
det(-A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(-A). O conteúdo é cálculo de determinante e a propriedade de multiplicação escalar em determinantes.

Passo 2

Para toda matriz ntimes n e escalar lambda vale
det(lambda A)=lambda^ndet(A)
Aqui lambda=-1 e n=4, logo
det(-A)=(-1)^4det(A)=det(A)
Basta, portanto, calcular det(A).

Passo 3

Vamos usar eliminação na primeira coluna para isolar um subdeterminante 3times3. Aplicamos sem alterar o valor do determinante:
R2 R2+R1,
R3 R3-6R1,
R4 R4-5R1.
Fica
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11

Passo 4

Expandindo pela primeira coluna,
det(A) =1cdot det 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11
Calculando este 3times3 por cofatores:
det &=7l(9cdot(-11)-(-19)cdot5r) -(-3)l((-23)cdot(-11)-(-19)cdot(-22)r) & +7l((-23)cdot5-9cdot(-22)r) &=7(-99+95)+3(-165)+7( -115+198) &=-28-495+581=58

Passo 5

Concluímos que
det(A)=58 e det(-A)=det(A)=58

Resposta

det(-A)=58

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